円と放物線が接する条件

実数$${k}$$の条件
　　「円$${x^2+y^2=4}$$と放物線$${y=x^2+k}$$が接する」
を、
　　「この2式から$${x^2}$$を消去して得られる$${y}$$の2次方程式
　　　　　　　　$${y^2+y-k-4=0}$$…☆
　　　が重解を持つ」
と言い換えるのは正しいでしょうか。

答は
　・$${-2< y <2}$$で接するとき→OK（$${-2 < y <2}$$に重解を持つ）
　・$${y=\pm 2}$$で接するとき→NG
です。その直観的説明です。

[円と放物線が接する]
「円x^2+y^2=4と放物線y=x^2+kが接する」
を、
「(この2式からx^2を消去して得られるyの2次方程式)y^2+y-k-4=0…☆が重解を持つ」
と言い換えられるか。
答は
・-2<y<2で接するとき→OK（-2<y<2に重解を持つ）
・y=±2で接するとき→NG
です。その直観的説明です。 pic.twitter.com/d311HbsMrj

— 大澤裕一 (@HirokazuOHSAWA) May 13, 2021

[円と放物線が接する 補足1/4]
この問題は、以下のあんりさん（@Henri_405）の投稿の中で取り上げられたものです。https://t.co/3RasyOLCMN

— 大澤裕一 (@HirokazuOHSAWA) May 13, 2021

[円と放物線が接する 補足2/4]
ちなみに、この問題において放物線の式をy=(1/8)x^2+kに変更すると、-2<y<2で接するケースはありません。（☆に相当する2次方程式y^2+8y-8k-4=0が-2<y<2に重解を持たない） pic.twitter.com/A0FRsH1tLd

— 大澤裕一 (@HirokazuOHSAWA) May 13, 2021

[円と放物線が接する 補足3/4]
一般の2つの代数曲線に対し、x,yの一方を消去して他方の文字の方程式を作ったとしても、「接する⇒重解」「重解⇒接する」いずれも正しいとは言えません。
従って、「この2曲線が接する」は、その定義（共有点を持ちそこでの接線が一致）に基づいて考えるのが基本です。

— 大澤裕一 (@HirokazuOHSAWA) May 13, 2021

[円と放物線が接する 補足4/4]
「接する⇔重解」が言えるのは、限られた場合のみです。
(y=f(x)とy=g(x)(右辺はいずれもxの多項式)、y=mx+nと2次曲線(楕円・放物線・双曲線)など)
方程式の解の状況から「2曲線が接するかどうか」は、いつでも分かるわけではない、ということは常識としておきましょう。

— 大澤裕一 (@HirokazuOHSAWA) May 13, 2021