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a,bが互いに素⇒a+b,abが互いに素 の証明
「互いに素な整数$${a,b}$$に対し、$${a+b,ab}$$も互いに素」
の一風変わった証明を紹介します。これについては、素数の性質(整数$${a,b}$$と素数$${p}$$に対し、$${ab}$$が$${p}$$で割り切れるならば、$${a,b}$$の少なくとも一方は$${p}$$の倍数)を用いる方法が有名ですが、今回はこの性質を用いません。
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整数論における基本定理「整数$${A,B}$$に対し、$${A,B}$$が互いに素$${\Leftrightarrow}$$[$${Ax+By=1}$$を満たす整数$${x,y}$$が存在する]」を用いています。($${\Leftarrow}$$は自明ですね)
とてもシンプルですね!
「互いに素な整数a,bに対し、a+b,abが互いに素である」の証明です。 pic.twitter.com/N0HFKCtzum
— 大澤裕一 (@HirokazuOHSAWA) April 6, 2022
加藤文元先生の動画の講義で紹介されていた方法です。
— 大澤裕一 (@HirokazuOHSAWA) April 6, 2022
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