exp(x)/x^α→∞（x→∞) のとても簡潔な証明

基本極限である$${\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{e^x}{x^\alpha}=\infty}$$（$${\alpha}$$は正の定数）の証明については、様々な方法が知られています。今回は、とても簡潔な方法を紹介します。私が知る方法の中で最も簡単な方法です。「増加で下に凸な関数は$${x \to \infty}$$で正の無限大に発散する」（直観的には当たり前で証明も容易）を用います。

$${\displaystyle \frac{e^x}{x^\alpha}}$$の$${\log}$$を取らずに、そのままで増減・凹凸を考えても良いですが、$${\log}$$を取る方が微分計算が楽ですね。

正の定数αに対して、exp(x)/x^α→∞（x→∞)
のとても簡潔な証明です。 pic.twitter.com/e4Oz67jnFP

— 大澤裕一 (@HirokazuOHSAWA) May 13, 2022