等比数列の話

今回は等比数列に関してお話します。最後に例題もあるのでぜひ最後まで聞いていってください！

等比数列

等比数列とは例えば

$$
2,4,8,16,32, \cdots
$$

のように各項の比が常に同じ（この場合は2）の数列です。この比のことを公比といいここでは$${r}$$で表します。等比数列では

$$
a_{n+1} =a_nr
$$

が成り立ちます。このことを用いると

$$
a_2=a_1r \\
a_3=a_2r= a_1r^2 \\
a_4=a_3r= a_2r^3 \\
\vdots
$$

のように言えます。このことから等比数列$${\{a_n\}}$$の一般項は公比を$${r}$$とすると

$$
a_n=a_1 \cdot r^{n-1}
$$

と表せます。例えば先ほどの

$$
2,4,8,16,32, \cdots
$$

の一般項は、初項$${a_1=2}$$で公比$${r=2}$$なので

$$
\begin{align*}
a_n
&=a_1 \cdot r^{n-1} \\
&=2 \cdot 2^{n-1} \\
&=2^n
\end{align*}
$$

となります。

例題

では例題を解いてみましょう。

例題　次の数列の一般項を求めよ。
(1) $${2,6,18,54, \cdots}$$
(2) $${-3,6,-12,24,\cdots}$$
(3) $${1,-1,1,-1,\cdots}$$

ではどうぞ。解いたらスクロールして答え合わせしてみてください。

解答

(1) この数列は初項が$${2}$$で公比が$${3}$$の等比数列なので、一般項$${a_n}$$は

$$
a_n=2 \cdot 3^{n-1}
$$

となります。

(2) この数列は初項が$${-3}$$で公比が$${-2}$$の等比数列なので、一般項$${a_n}$$は

$$
a_n=-3 \cdot (-2)^{n-1}
$$

となります。

(3) この数列は初項が$${1}$$で公比が$${-1}$$の等比数列なので、一般項$${a_n}$$は

$$
a_n=1 \cdot (-1)^{n-1} = (-1)^{n-1}
$$

となります。

まとめ

今回は等比数列についてお話しました。等比数列とは同じ数だけかけられていく数列でしたね。一般項を求めるのはよくある問題なので、繰り返し練習して覚えちゃいましょう！

それではまたお会いしましょう。