方程式①(中学数学編)

こんにちは。
今、定期的に中学〜高校の数学をnote記事で作成している最中です。

各分野の基礎を記すというより、
その分野を学んでいく上で効率よく進められる方法や考え方を書いていく予定です。

是非、参考書や教科書などの手助けになれば幸いです。
今日は方程式について。
みなさん、方程式は魔法のようなものと考えていませんか？
分数や小数が入ると難しいと考えていませんか？
実は方程式は魔法でもなければ、
整数,分数,小数どれも簡単なものです。
(もし難しいと考えているのであれば、それは数を正しくこなせていないだけかも？)

ここから方程式とは何たるか？
を話していきたいと思います。

①方程式とは逆算である

方程式というのは、答えが計算式の途中にある式のことです。
例えば、

①4×5+2=(答え)

この式は答えが式の最後にあります。
これは方程式ではなく、普通の計算です。

②4×(答え)+2=22

この式は答えが式の途中にあります。
これが方程式です。

このように、式計算の最後の数字は分かっていて、途中が知りたい。そんな場面が登場します。
それを求める方法が方程式というわけです。

では、どうやって式の途中にある(答え)を求めるのか。
それは逆算です。
計算には順序があります。
その順序を辿っていくと、答えに行き着きます。
つまり、答えが分かってる時に
その順序の逆を辿れば、途中がわかるということです。

②逆算→ゴールからたどる

ここからは方程式の仕組みと解き方を見ていきましょう。ちなみに仕組みを見ていくため、説明の順番と書いてきた順番が変わっています。
上から順に見ても問題ありませんが、解き方を見ていきたい方は下の「1」からみていくことをオススメします。

普通、計算は
1.(かっこ)の中身
2.かけ算割り算
3.足し算引き算
という順序で計算します。

逆算とは逆の計算。
足し算の逆は引き算、
かけ算の逆は割り算です。

これを元に、ゴールから辿って
方程式の計算の順序を理解しましょう。

3.最後は「x=答え」

方程式は最後、x(文字)=答え
という形でゴールします。
では、その直前はどのような形でしょう？
5×(答え)=25 のように掛け算？
5+(答え)=25 のように足し算？

2.ゴール手前の形

ゴール手前は
数×(答え)=数
になることが多いです。
少なくとも
その計算式の1番最初にする計算が
方程式では1番最後にする計算になります。

(かっこ)を使ったりする複雑なものは一旦置いておきます。

つまり、
(数×文字)=数
ということになるわけです。

1.まずは仕分け作業

これを考えると、やるべきことは1つ。
「数×文字」のかたまりと、
「数だけ」のかたまりに分けることです。

簡単に見えて、コレが意外と難しいです。
式全体が分数になっていたり、
文字が2箇所にあったり、
かっこがあったり。

③変形していくコツ

方程式では4つの性質があるとよく言われます。
A=Bのとき、
A+C=B+C
A-C=B-C
A×C=B×C
A÷C=B÷C

はっきり言ってわかりづらいですよね？

1.移項

なら、これならどうでしょう？
A+C=Bなら、
A=B-C
AとCを合わせてBなら、
BからCを引いたらAになるはずです。
(もちろん、B-A=CでもOK)
これを移項といいます。(移行ではありません)
由来はAやBやCのことを項と呼び、
その項が=をまたいで移ったからだそうです。

いちいち命名せんでよくね？と思うでしょうが、
実は注目ポイントが。
移ったCは足し算ではなく、引き算に変わっているんです。
ただ、式の変化を見ると納得はいくと思います。

2.逆数

また、このようなものもあります。
A×B=Cのとき、
A=C÷B
または、A=1/B×C
AにBをかけてCなら、CからBを割るとAになる。
また、これは
Cに1/Bをかけることと同じ。
(÷Bと×1/Bですね)
これが分数のかけ算の時に非常に役に立ちます。

3.検算

方程式というのは式計算というより、
式変形です。
成り立っている式があり、
それをどんどん言い換えていく。
ということは言い換える前と後の式が矛盾するといけないわけです。
ここでちゃんと元の式と同じになるか確認する。
これを検算といいます。
検算でおかしい変形をしていないか確認する。
ということです。

言い換えてるだけなのに、答えに辿り着く。
不思議なものですねw

④最後に

いかがだったでしょうか？
魔法のような式変形、方程式。
それは
複雑に形を変えられたものを
元に戻すことで答えを導く計算手段だったということです。

方程式は中学から始まりますが、
その仕組みは小学生から実は開始しており、
高校や大学まで用いられる、すごい技術です。

是非この技術に慣れ、
数学の魔法を自在に操れるようになっていきたいものですね。