減衰振動

単振動する物体に速度に比例する抵抗力が働く場合を考える。抵抗力は非保存力なので系全体の力学的エネルギーが次第に失われ､最終的に運動は停止する。

質量$${m}$$の重りがばね定数$${c}$$のばねに固定され$${q}$$軸に沿って運動するとき、重りの速度$${\dot{q}}$$の比例した抵抗力が働くとする。
Newton's 2nd law は
　$${m\ddot{q}=-cq-b\dot{q}}$$､　　$${m\ddot{q}+b\dot{q}+cq=0}$$　である。
これに$${q=e^{\lambda t}}$$とおいて代入すると
特性方程式は
　$${m\lambda^2+b\lambda+c=0}$$
　$${\lambda=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4mc}}{2m}=\dfrac{-b\pm\sqrt{D}}{2m}}$$（$${D=b^2-4mc}$$）
以下判別式$${D}$$による場合分けを行う。
D ＜０ のとき
　$${\lambda}$$は複素数である。　$${\lambda=\dfrac{b\pm i\sqrt{-D}}{2m}}$$
　一般解は
　$${q=C_1\exp\Big(\dfrac{-b+i\sqrt{-D}}{2m}t\Big)+C_2\exp\Big(\dfrac{-b+i\sqrt{-D}}{2m}t\Big)}$$
　　$${=\exp\Big(\dfrac{-b}{2m}t\Big)\Big\{C_1\exp\Big(i\dfrac{\sqrt{-D}}{2m}t\Big)+C_2\exp\Big(-i\dfrac{\sqrt{-D}}{2m}t\Big)\Big\}}$$
　　$${=\exp\Big(\dfrac{-b}{2m}t\Big)\Big[C_1\Big\{\cos\Big(\dfrac{\sqrt{-D}}{2m}t\Big)+i\sin\Big(\dfrac{\sqrt{-D}}{2m}t\Big)\Big\}}$$
　　　　　　　　　　　　　　　$${+C_2\Big\{\cos\Big(\dfrac{\sqrt{-D}}{2m}t\Big)-i\sin\Big(\dfrac{\sqrt{-D}}{2m}t\Big)\Big\}\Big]}$$
　　$${=\exp\Big(\dfrac{-b}{2m}t\Big)\Big\{(C_1+C_2)\cos\Big(\dfrac{\sqrt{-D}}{2m}t\Big)+(C_1-C_2)i\sin\Big(\dfrac{\sqrt{-D}}{2m}t\Big)\Big\}}$$
　　$${=A\exp\Big(\dfrac{-b}{2m}t\Big)\cos\Big(\dfrac{\sqrt{-D}}{2m}t+B\Big)}$$   (1)
　$${t}$$で微分して
　　$${\dot{q}=A\dfrac{-b}{2m}\exp\Big(\dfrac{-b}{2m}t\Big)\cos\Big(\dfrac{\sqrt{-D}}{2m}t+B\Big)}$$
　　　　　　　　　　　　$${-A\dfrac{\sqrt{-D}}{2m}\exp\Big(\dfrac{-b}{2m}t\Big)\sin\Big(\dfrac{\sqrt{-D}}{2m}t+B\Big)}$$  (2)
　初期条件（$${t=0,   q=q_0,   \dot{q}=0}$$）を(1)(2)に代入
　(1)$${q_0=A\cos B}$$  (3)
　(2)$${0=A\dfrac{-b}{2m}\cos B-A\dfrac{\sqrt{-D}}{2m}sinB,        b\cos B=-\sqrt{-D}\sin B}$$
　　　$${\dfrac{\sin B}{\cos B}=-\dfrac{b}{\sqrt{-D}}=\tan B,        B=\tan^{-1}\Big(-\dfrac{b}{\sqrt{-D}}\Big)}$$
　　　$${\cos B=\dfrac{\sqrt{-D}}{\sqrt{(-b)^2+(\sqrt{-D})^2}}=\dfrac{\sqrt{-D}}{\sqrt{b^2+\{\sqrt{-(b^2-4mc)}  \}^2}}}$$
　　　　　　$${=\dfrac{\sqrt{-D}}{\sqrt{b^2+4mc-b^2}}=\sqrt{\dfrac{-D}{4mc}}}$$ (4)
　 (4)を(3)に代入して、$${A=\dfrac{q_0}{\cos B}=q_0\sqrt{\dfrac{4mc}{-D}}}$$
　よって(1)は
　　$${q=q_0\sqrt{\dfrac{4mc}{-D}}\exp\Big(-\dfrac{b}{2m}t\Big)\cos\Big\{\dfrac{\sqrt{-D}}{2m}t+\tan^{-1}\Big(\dfrac{b}{\sqrt{-D}}\Big)\Big\}}$$   (5)

D ＝０ のとき
　$${\lambda=-\dfrac{b}{2m}}$$（重解）
　一般解は
　$${q=C_1\exp\Big(-\dfrac{b}{2m}t\Big)+C_2 t\exp\Big(-\dfrac{b}{2m}t\Big)}$$  (6)
　$${t}$$で微分して
　$${\dot{q}=-\dfrac{b}{2m}C_1\exp\Big(-\dfrac{b}{2m}t\Big)+C_2 \exp\Big(-\dfrac{b}{2m}t\Big)-\dfrac{b}{2m}C_2 t\exp\Big(-\dfrac{b}{2m}t\Big)}$$
　　$${=\Big(-\dfrac{b}{2m}C_1+C_2\Big)\exp\Big(-\dfrac{b}{2m}t\Big)-\dfrac{b}{2m}C_2 t\exp\Big(-\dfrac{b}{2m}t\Big)}$$  (7)
　初期条件（$${t=0,    q=q_0,     \dot{q}=0}$$）を代入
　(6)$${q_0=C_1}$$
　(7)$${0=-\dfrac{b}{2m}C_1+C_2,       C_2=\dfrac{b}{2m}q_0}$$
　よって(6)は
　$${q=q_0\exp\Big(-\dfrac{b}{2m}t\Big)+\dfrac{b}{2m}q_0  t\exp\Big(-\dfrac{b}{2m}t\Big)}$$
　　$${=q_0\Big(1+\dfrac{b}{2m}t\Big)\exp\Big(-\dfrac{b}{2m}t\Big)}$$  (8)

D ＞０ のとき
　$${\lambda=\dfrac{-b\pm\sqrt{D}}{2m}}$$（異なる２つの実数解）
　$${q=C_1\exp\Big(\dfrac{-b+\sqrt{D}}{2m}t\Big)+C_2\exp\Big(\dfrac{-b-\sqrt{D}}{2m}t\Big)}$$  (9)
　微分して
　$${\dot{q}=\dfrac{-b+\sqrt{D}}{2m}C_1\exp\Big(\dfrac{-b+\sqrt{D}}{2m}t\Big)+\dfrac{-b-\sqrt{D}}{2m}C_2\exp\Big(\dfrac{-b-\sqrt{D}}{2m}t\Big)}$$  (10)
　初期条件（$${t=0,   q=q_0,    \dot{q}=0}$$）を代入
　(9)$${q_0=C_1+C_2}$$
　(10)$${0=\dfrac{-b+\sqrt{D}}{2m}C_1+\dfrac{-b-\sqrt{D}}{2m}C_2,          C_1=\dfrac{\sqrt{D}+b}{\sqrt{D}-b}C_2}$$
　(9)に代入
　$${q_0=\dfrac{\sqrt{D}+b}{\sqrt{D}-b}C_2+C_2=\Big(\dfrac{\sqrt{D}+b}{\sqrt{D}-b}+1\Big)C_2=\dfrac{\sqrt{D}+b+\sqrt{D}-b}{\sqrt{D}-b}C_2}$$
　　$${=\dfrac{2\sqrt{D}}{\sqrt{D}-b}C_2}$$
　よって　$${C_2=\dfrac{\sqrt{D}-b}{2\sqrt{D}}q_0}$$
　$${C_1=q_0-C_2=q_0-\dfrac{\sqrt{D}-b}{2\sqrt{D}}q_0=\Big(1-\dfrac{\sqrt{D}-b}{2\sqrt{D}}\Big)q_0}$$
　　$${=\dfrac{2\sqrt{D}-\sqrt{D}+b}{2\sqrt{D}}q_0=\dfrac{\sqrt{D}+b}{2\sqrt{D}}q_0}$$
　よって(9)は
　$${q=q_0\Big\{\dfrac{\sqrt{D}+b}{2\sqrt{D}}\exp\Big(\dfrac{-b+\sqrt{D}}{2m}t\Big)+\dfrac{\sqrt{D}-b}{2\sqrt{D}}\exp\Big(\dfrac{-b-\sqrt{D}}{2m}t\Big)\Big\}}$$  (10)

質量$${m=10}$$､ばね定数$${c=20}$$､初期位置$${q=q_0}$$､初速度$${\dot{q}=0}$$という同じ条件で、抵抗定数$${b}$$を徐々に大きくしていく。
（D＜０）振幅の減衰が大きくなり
（D＝０）振動のない臨界減衰となり（このとき最も減衰がはやい）
（D＞０） なかなか釣り合いの位置に($${q=0}$$)に近づかない過減衰になる。

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