【院試解答】東大院 情報理工 数学 2020年度 第1問【行列指数関数】

東京大学大学院 情報理工学系研究科の入試過去問の解答例です．この記事では2020年度の数学（一般教育科目）第1問について解答・解説します．問題は研究科のWebサイトから見ることができます．

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※この解答例は大学院・研究科に認められたものではありません．正確性についての保証は致しかねます．

(1)

$${\boldsymbol{A}}$$の固有方程式は，固有値を$${\lambda}$$とすると

$$
\det(\lambda\boldsymbol{I}-\boldsymbol{A})=0
$$

である．ここで

$$
\begin{aligned}\det(\lambda\boldsymbol{I}-\boldsymbol{A})&=\begin{vmatrix}\lambda-1 & -\sqrt{2} & 0\\-\sqrt{2} & \lambda-1 & -\sqrt{2}\\0 & -\sqrt{2} & \lambda-1\end{vmatrix}\\&=(\lambda-1)^3-4(\lambda-1)\\&=(\lambda-1)\left[(\lambda-1)^2-4\right]\\&=(\lambda-1)(\lambda-1-2)(\lambda-1+2)\\&=(\lambda-3)(\lambda-1)(\lambda+1)\end{aligned}
$$

であるから，$${\boldsymbol{A}}$$の全ての固有値は

$$
(\lambda-3)(\lambda-1)(\lambda+1)=0
$$

$$
\therefore \lambda=3,1,-1\tag{答}
$$

である．それぞれに対応する，ノルムが1かつ第一要素が非負実数である固有ベクトルを$${\boldsymbol{v}_3,\boldsymbol{v}_1,\boldsymbol{v}_{-1}}$$とする．まず$${\boldsymbol{v}_3}$$を求める．

$$
\begin{aligned}3\boldsymbol{I}-\boldsymbol{A}&=\begin{pmatrix}2 & -\sqrt{2} & 0\\-\sqrt{2} & 2 & -\sqrt{2}\\0 & -\sqrt{2} & 2\end{pmatrix}\\&\xrightarrow{\text{基本変形}}\begin{pmatrix}\sqrt{2} & -1 & 0\\0 & 1 & -\sqrt{2}\\0 & 0 & 0\end{pmatrix}\\&\left\{\begin{aligned}\sqrt{2}x-y&=0\\y-\sqrt{2}z&=0\end{aligned}\right.\end{aligned}
$$

$$
\therefore \boldsymbol{v}_3=\frac{1}{2}\begin{pmatrix}1\\\sqrt{2}\\1\end{pmatrix}\tag{答}
$$

次に$${\boldsymbol{v}_1}$$を求める．

$$
\begin{aligned}\boldsymbol{I}-\boldsymbol{A}&=\begin{pmatrix}0 & -\sqrt{2} & 0\\-\sqrt{2} & 0 & -\sqrt{2}\\0 & -\sqrt{2} & 0\end{pmatrix}\\&\xrightarrow{\text{基本変形}}\begin{pmatrix}1 & 0 & 1\\0 & 1 & 0\\0 & 0 & 0\end{pmatrix}\\&\left\{\begin{aligned}x+z&=0\\y&=0\end{aligned}\right.\end{aligned}
$$

$$
\therefore \boldsymbol{v}_1=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix}\tag{答}
$$

最後に$${\boldsymbol{v}_{-1}}$$を求める．

$$
\begin{aligned}-\boldsymbol{I}-\boldsymbol{A}&=\begin{pmatrix}-2 & -\sqrt{2} & 0\\-\sqrt{2} & -2 & -\sqrt{2}\\0 & -\sqrt{2} & -2\end{pmatrix}\\&\xrightarrow{\text{基本変形}}\begin{pmatrix}1 & 0 & -1\\0 & 1 & \sqrt{2}\\0 & 0 & 0\end{pmatrix}\\&\left\{\begin{aligned}x-z&=0\\y+\sqrt{2}z&=0\end{aligned}\right.\end{aligned}
$$

$$
\therefore \boldsymbol{v}_{-1}=\frac{1}{2}\begin{pmatrix}1\\-\sqrt{2}\\1\end{pmatrix}\tag{答}
$$