【院試解答】東大院 情報理工 数学 2023年度 第2問【常微分方程式】

東京大学大学院 情報理工学系研究科の入試過去問の解答例です．2023年度の数学（一般教育科目）第2問について解答・解説します．問題は研究科のWebサイトから見ることができます．

過去問アーカイブ | 入学・進学案内 | 東京大学 大学院 情報理工学系研究科

問題PDF

この解答例は大学院・研究科に認められたものではありません．正確性についての保証は致しかねます．

(1)

解答

非斉次線形微分方程式の一般解は，斉次線形微分方程式（補助方程式）の一般解と非斉次線形微分方程式の特殊解の和である．

まず，斉次線形微分方程式

$$
\frac{\mathrm{d}^2x}{\mathrm{d}t^2}+2\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}+x=0
$$

の一般解を求める．特性方程式

$$
\lambda^2+2\lambda+1=0
$$

より

$$
\begin{aligned}
(\lambda+1)^2&=0\\
\lambda&=-1
\end{aligned}
$$

となるから，$${C_1,C_2}$$を任意定数として

$$
x=(C_1+C_2t)e^{-t}
$$

となる．

次に，元の非斉次線形微分方程式の特殊解を求める．特殊解を$${x=A\cos(t)+B\sin(t)}$$とおくと

$$
\begin{aligned}
&\quad\frac{\mathrm{d}^2x}{\mathrm{d}t^2}+2\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}+x\\
&=[-A\cos(t)-B\sin(t)]+2[-A\sin(t)+B\cos(t)]+[A\cos(t)+B\sin(t)]\\
&=2B\cos(t)-2A\sin(t)=\cos(t)
\end{aligned}
$$

となるから

$$
\left\{\begin{aligned}
2B&=1\\
-2A&=0
\end{aligned}\right.
$$

$$
\therefore A=0, B=\frac{1}{2}
$$

である．すなわち

$$
x=\frac{1}{2}\sin(t)
$$

となる．

以上より，元の非斉次線形微分方程式の一般解は

$$
x=(C_1+C_2t)e^{-t}+\frac{1}{2}\sin(t)
$$

である．$${t\to-\infty}$$で有界である解は，$${C_1=C_2=0}$$のときであるから

$$
x(t)=\frac{1}{2}\sin(t)\tag{答}
$$

である．

解説

定数係数二階線形常微分方程式の問題です．斉次方程式が重解をもつという場合でも解けるようにしておきましょう．

解の任意定数の値を初期条件から決定するというパターンが一般的ですが，本問では「$${t\to-\infty}$$で有界」という条件から決定するというものになっています．