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【院試解答】東大院 情報理工 数学 2017年度 第2問【熱方程式】
東京大学大学院 情報理工学系研究科の入試過去問の解答例です.この記事では2017(平成29)年度の数学(一般教育科目)第2問について解答・解説します.
※この解答例は大学院・研究科に認められたものではありません.正確性についての保証は致しかねます.
(1)
解答
$${n=m}$$のとき
$$
\begin{aligned}\int_0^1\sin(n\pi x)\sin(m\pi x)\mathrm{d}x&=\int_0^1\sin^2(n\pi x)\mathrm{d}x\\&=\int_0^1\frac{1-\cos(2n\pi x)}{2}\mathrm{d}x\\&=\frac{1}{2}\left[x-\frac{\sin(2n\pi x)}{2n\pi}\right]_0^1\\&=\frac{1}{2}\end{aligned}
$$
となる.
$${n\ne m}$$のとき
$$
\begin{aligned}\int_0^1\sin(n\pi x)\sin(m\pi x)\mathrm{d}x&=\frac{1}{2}\int_0^1[\cos((n-m)\pi x)-\cos((n+m)\pi x)]\mathrm{d}x\\&=\frac{1}{2}\left[\frac{\sin((n-m)\pi x)}{(n-m)\pi}-\frac{\sin((n+m)\pi x)}{(n+m)\pi}\right]_0^1\\&=0\end{aligned}
$$
となる.
よって
$$
\int_0^1\sin(n\pi x)\sin(m\pi x)\mathrm{d}x=\begin{cases}\frac{1}{2} & (n=m)\\0 & (n\ne m)\end{cases}\tag{答}
$$
である.
解説
三角関数(正弦関数)の直交性を示す問題です.
積和の公式を用いることで積分を計算することができます.
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