【院試解答】東大院 情報理工 数学 2017年度 第2問【熱方程式】

東京大学大学院 情報理工学系研究科の入試過去問の解答例です．この記事では2017（平成29）年度の数学（一般教育科目）第2問について解答・解説します．

問題PDF

※この解答例は大学院・研究科に認められたものではありません．正確性についての保証は致しかねます．

(1)

解答

$${n=m}$$のとき

$$
\begin{aligned}\int_0^1\sin(n\pi x)\sin(m\pi x)\mathrm{d}x&=\int_0^1\sin^2(n\pi x)\mathrm{d}x\\&=\int_0^1\frac{1-\cos(2n\pi x)}{2}\mathrm{d}x\\&=\frac{1}{2}\left[x-\frac{\sin(2n\pi x)}{2n\pi}\right]_0^1\\&=\frac{1}{2}\end{aligned}
$$

となる．

$${n\ne m}$$のとき

$$
\begin{aligned}\int_0^1\sin(n\pi x)\sin(m\pi x)\mathrm{d}x&=\frac{1}{2}\int_0^1[\cos((n-m)\pi x)-\cos((n+m)\pi x)]\mathrm{d}x\\&=\frac{1}{2}\left[\frac{\sin((n-m)\pi x)}{(n-m)\pi}-\frac{\sin((n+m)\pi x)}{(n+m)\pi}\right]_0^1\\&=0\end{aligned}
$$

となる．
よって

$$
\int_0^1\sin(n\pi x)\sin(m\pi x)\mathrm{d}x=\begin{cases}\frac{1}{2} & (n=m)\\0 & (n\ne m)\end{cases}\tag{答}
$$

である．

解説

三角関数（正弦関数）の直交性を示す問題です．
積和の公式を用いることで積分を計算することができます．