【院試解答】東大院 工学系 数学 2023年度 第2問【対角化】

東京大学大学院 工学系研究科の入試過去問の解答例です．2023年度の数学（一般教育科目）第2問について解答・解説します．問題は研究科のWebサイトから見ることができます．

一般入試

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この解答例は大学院・研究科に認められたものではありません．正確性についての保証は致しかねます．

I.

解答

$${\bm{I}}$$を単位行列とする．固有方程式

$$
\begin{aligned}
\det(\lambda\bm{I}-\bm{A})
&=\begin{vmatrix}
\lambda-2 & -1 & 0\\
-1 & \lambda-3 & -a\\
0 & -a & \lambda-2
\end{vmatrix}\\
&=(\lambda-2)^2(\lambda-3)-(\lambda-2)-(\lambda-2)a^2\\
&=(\lambda-2)[(\lambda-2)(\lambda-3)-1-a^2]\\
&=(\lambda-2)(\lambda^2-5\lambda+5-a^2)=0
\end{aligned}
$$

より，行列$${\bm{A}}$$の固有値$${\lambda}$$は

$$
\lambda=2,\frac{5\pm\sqrt{5+4a^2}}{2}
$$

である．

$${a=1}$$のとき

$$
\lambda=4,2,1
$$

となる．よって，対角行列$${\bm{D}}$$は

$$
\bm{D}=\begin{pmatrix}
4 & 0 & 0\\
0 & 2 & 0\\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}\tag{答}
$$

である．

解説

対角化の問題です．対角行列$${\bm{D}}$$の対角成分の順番は任意（正則行列$${\bm{P}}$$に応じて決まる）です．