【院試解答】東大院 情報理工 数学 2022年度 第2問【極限と積分の順序交換】

東京大学大学院 情報理工学系研究科の入試過去問の解答例です．2022年度の数学（一般教育科目）第2問について解答・解説します．問題は研究科のWebサイトから見ることができます．

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この解答例は大学院・研究科に認められたものではありません．正確性についての保証は致しかねます．

(1)

解答

$$
\begin{aligned}
J_n(\alpha)
&=\frac{\mathrm{d}I_n(\alpha)}{\mathrm{d}\alpha}\\
&=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\alpha}\int_\frac{1}{n}^n\frac{f(\alpha x)-f(x)}{x}\mathrm{d}x
\end{aligned}
$$

$${s=\alpha x}$$とおく．積分と微分が交換可能であると仮定すると

$$
\begin{aligned}
J_n(\alpha)
&=\int_\frac{1}{n}^n\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\alpha}\left(\frac{f(\alpha x)-f(x)}{x}\right)\mathrm{d}x\\
&=\int_\frac{1}{n}^n\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}\alpha}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}s}\left(\frac{f(s)-f(x)}{x}\right)\mathrm{d}x\\
&=\int_\frac{1}{n}^n x\cdot\frac{f'(s)}{x}\mathrm{d}x\\
&=\int_\frac{1}{n}^n f'(s)\mathrm{d}x\\
&=\int_\frac{1}{n}^n\frac{\mathrm{d}f(s)}{\mathrm{d}s}\mathrm{d}x
\end{aligned}
$$

となる．$${x}$$での積分から$${s}$$での積分に置換すると

$$
\begin{aligned}
J_n(\alpha)
&=\int_\frac{\alpha}{n}^{\alpha n}\frac{\mathrm{d}f(s)}{\mathrm{d}s}\frac{\mathrm{d}s}{\alpha}\\
&=\frac{1}{\alpha}\int_\frac{\alpha}{n}^{\alpha n}\frac{\mathrm{d}f(s)}{\mathrm{d}s}\mathrm{d}s\\
&=\frac{1}{\alpha}\left(f(\alpha n)-f\left(\frac{\alpha}{n}\right)\right)
\end{aligned}
$$

となる．∎

解説

1次式の置換積分で示すことができます．
着目する変数が$${\alpha}$$から$${x}$$に変化しながら微積分をしますので，係数を間違えないようにしましょう．