【院試解答】東大院 情報理工 数学 2018年度 第2問【関数列】
東京大学大学院 情報理工学系研究科の入試過去問の解答例です．この記事では2018（平成30）年度の数学（一般教育科目）第2問について解答・解説します．問題は研究科のWebサイトから見ることができます．
※この解答例は大学院・研究科に認められたものではありません．正確性についての保証は致しかねます．
(1)
解答
$${n}$$に関する数学的帰納法により示す．
[I] $${n=1}$$のとき
$$
\begin{aligned}f_1(x)&=c\\&=cx^0\\&=c_1x^{a_1}\end{aligned}
$$
[II] $${f_n(x)=c_nx^{a_n}}$$が成り立つと仮定すると
$$
\begin{aligned}f_{n+1}(x)&=p\int_0^x(f_n(t))^{1/q}\mathrm{d}t\\&=p\int_0^x(c_nt^{a_n})^{1/q}\mathrm{d}t\\&=p(c_n)^{1/q}\int_0^xt^{q^{-1}a_n}\mathrm{d}t\\&=p(c_n)^{1/q}\frac{x^{q^{-1}a_n+1}}{q^{-1}a_n+1}\\&=\frac{p(c_n)^{1/q}}{q^{-1}a_n+1}x^{q^{-1}a_n+1}\\&=\frac{p(c_n)^{1/q}}{a_{n+1}}x^{a_{n+1}}\\&=c_{n+1}x^{a_{n+1}}\end{aligned}
$$
となる．
[I],[II]より，$${n=1,2,\dots}$$に対して$${f_n(x)=c_nx^{a_n}}$$と表される．∎
解説
関数列$${\{f_n\}}$$と実数列$${\{a_n\},\{c_n\}}$$の漸化式が与えられ，示したい式$${f_n(x)=c_nx^{a_n}}$$も与えられているので，数学的帰納法を用いて簡単に証明することができます．
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