【院試解答】東大院 情報理工 数学 2023年度 第1問【多項式の決定】

東京大学大学院 情報理工学系研究科の入試過去問の解答例です．2023年度の数学（一般教育科目）第1問について解答・解説します．問題は研究科のWebサイトから見ることができます．

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この解答例は大学院・研究科に認められたものではありません．正確性についての保証は致しかねます．

(1)

解答

$$
\begin{aligned}
f(x,y)
&=\begin{vmatrix}
1 & x_1 & y_1\\
1 & x_2 & y_2\\
1 & x & y
\end{vmatrix}\\
&=x_2y+x_1y_2+xy_1-x_2y_1-x_1y-xy_2\\
&=(x_2-x_1)(y-y_1)-(y_2-y_1)(x-x_1)
\end{aligned}
$$

となるので，方程式$${f(x,y)=0}$$の解の集合は

$$
\begin{aligned}
(x_2-x_1)(y-y_1)-(y_2-y_1)(x-x_1)&=0\\
\therefore (x_2-x_1)(y-y_1)&=(y_2-y_1)(x-x_1)\\
\end{aligned}
$$

となる．$${x_1\ne x_2}$$のとき

$$
y-y_1=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}(x-x_1)
$$

となる．これは$${xy}$$平面上の2点$${(x_1,y_1),(x_2,y_2)}$$を通る直線である．∎

解説

行列式を計算して直線の方程式に変形しましょう．
3次の行列式はサラスの方法で求めることができます．