【院試解答】東大院 工学系 数学 2023年度 第1問【解析学】

東京大学大学院 工学系研究科の入試過去問の解答例です．2023年度の数学（一般教育科目）第1問について解答・解説します．問題は研究科のWebサイトから見ることができます．

一般入試

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この解答例は大学院・研究科に認められたものではありません．正確性についての保証は致しかねます．

I.

解答

$$
\begin{aligned}
\lim_{x\to 0}\frac{b^x-c^x}{ax}
&=\frac{1}{a}\lim_{x\to 0}\frac{e^{\log b^x}-e^{\log c^x}}{x}\\
&=\frac{1}{a}\lim_{x\to 0}\frac{e^{x\log b}-e^{x\log c}}{x}\\
&=\frac{1}{a}\lim_{x\to 0}\frac{\left(e^{x\log b}-1\right)-\left(e^{x\log c}-1\right)}{x}\\
&=\frac{1}{a}\lim_{x\to 0}\left[\left(\frac{e^{x\log b}-e^0}{x}\right)-\left(\frac{e^{x\log c}-e^0}{x}\right)\right]\\
&=\frac{1}{a}\lim_{x\to 0}\left[\left(\frac{e^{x\log b}-e^0}{x\log b}\right)\log b-\left(\frac{e^{x\log c}-e^0}{x\log c}\right)\log c\right]\\
&=\frac{1}{a}\left(\left.\frac{\mathrm{d}e^x}{\mathrm{d}x}\right|_{x=0}\log b-\left.\frac{\mathrm{d}e^x}{\mathrm{d}x}\right|_{x=0}\log c\right)\\
&=\frac{1}{a}(1\cdot\log b-1\cdot\log c)
\end{aligned}
$$

$$
\therefore \lim_{x\to 0}\frac{b^x-c^x}{ax}=\frac{\log b-\log c}{a} \tag{答}
$$

別解

$$
\left\{\begin{aligned}
f(x)&=b^x-c^x\\
g(x)&=ax
\end{aligned}\right.
$$

とすると

$$
\lim_{x\to 0}f(x)=\lim_{x\to 0}g(x)=0
$$

であり，また

$$
g'(x)=a\ne 0
$$

であるから，l'Hôpitalロピタルの定理より

$$
\begin{aligned}
\lim_{x\to 0}\frac{b^x-c^x}{ax}
&=\lim_{x\to 0}\frac{f(x)}{g(x)}\\
&=\lim_{x\to 0}\frac{f'(x)}{g'(x)}\\
&=\lim_{x\to 0}\frac{b^x\log b-c^x\log c}{a}\\
&=\frac{\log b-\log c}{a}
\end{aligned}
$$

である．

解説

極限を求める問題です．$${0/0}$$の不定形ですので，式変形をして極限値を求めます．

ロピタルの定理を適用すれば，式変形を考えることなく決まった手続きで極限を求めることができますが，前提条件を満たしているかどうか確認してから用いるように注意しましょう．