再現不可能な反復性： 無秩序の中に秩序を見出す

Non-Repeatable Repeatability: Finding Order in Disorder
再現不可能な反復性： 無秩序の中に秩序を見出す

by Jonathan K. Corrado, Ph.D., P. E. | Oct. 23, 2023

Covering a flat surface with some pattern of geometric shapes with no overlaps or gaps is called tiling. Tiling shows up in many places, from the tiles on our kitchen floors to bees’ honeycombs. They generally have a pleasing, even fascinating, quality, and their regularity often expresses some natural harmony.
　平面を重なりや隙間のない幾何学的な形のパターンで覆うことをタイリングと呼びます。タイリングは、台所の床のタイルからミツバチの巣まで、様々な場所で見られます。一般的に、タイルは心地よく魅力的でさえあり、その規則性はしばしば自然の調和を表現していることがあります。

The most familiar kinds of tiling, such as covering a floor with squares that meet edge-to-edge, are examples of periodic tiling. In his 1619 Harmonice Mundi, Johannes Kepler created the first list of all the Archimedean tilings, those that can be created from sets of regular polygons. These kinds of tiling inherently possess many symmetries.
　最も馴染みのあるタイリングの種類、例えば、端と端が接する正方形で床を覆うなどは、周期的タイリングの例です。ヨハネス・ケプラーは1619年に発表した『Harmonice Mundi』において、正多角形の集合から作成できるアルキメデス・タイリングのリストを初めて作成しました。これらの種類のタイリングは、本質的に多くの対称性を持っています。

On the other hand, a Penrose tiling is an example of an aperiodic—irregular or not periodic—tiling. Tiling is aperiodic if it doesn’t contain arbitrarily large periodic regions or patches. Penrose tiling is named after the mathematician, physicist, and Nobel laureate Roger Penrose, who investigated it in the 1970s.1 Remarkably, Penrose tiling has an infinite number of different patterns that tile the entire plane, not just a single pattern in which every pattern one sees is a portion of the overall singular pattern.2 Thus, it almost resembles a disordered order
　一方、ペンローズ・タイリングは、非周期的で不規則な、あるいは周期的でないタイリングの例です。タイリングが非周期的であるのは、任意の大きさの周期的な領域やパッチを含まない場合です。ペンローズ・タイリングは、1970年代にこれを研究した数学者、物理学者、ノーベル賞受賞者のロジャー・ペンローズにちなんで名づけられました。驚くべきことに、ペンローズ・タイリングには、平面全体をタイル状に並べたパターンが無限にあります。どのパターンも全体的な特異パターンの一部であり、単一のパターンではありません。したがって、ほとんど無秩序な秩序に似ているのです。

Interestingly, if one counts the two shapes in the Penrose pattern (whether they are pentagons and rhombi, kites and darts, etc.) and divides the number of the larger shape (i.e., pentagons or kites) by the number of the smaller shapes (i.e., rhombi or darts), the result is 1.618. This is the golden ratio—a mathematical constant that’s found throughout nature, including in the proportions of the human body, the DNA structure, and the solar system.3,4
　興味深いことに、ペンローズパターンの2つの図形（五角形と菱形、凧とダーツなど）を数え、大きい方の図形（五角形や凧など）の数を小さい方の図形（菱形やダーツなど）の数で割ると、結果は1.618となります。これは黄金比であり、人体の比率、DNA構造、太陽系など、自然界のいたるところに見られる数学的定数です。

And the Penrose pattern gets more interesting if straight lines are drawn on the tiles. The lines are called Ammann bars after Robert Ammann, who further refined the matching rules necessary to properly lay out a Penrose pattern. When the pattern is put together, the tiles’ individual lines all connect perfectly into straight lines across the entire Penrose pattern (see the accompanying illustration).
　ペンローズパターンは、タイルに直線を引くとさらに面白くなります。この線は、ペンローズパターンを正しくレイアウトするために必要なマッチングルールをさらに洗練させたロバート・アマンにちなんで、アマンバーと呼ばれています。パターンをまとめると、タイルの個々の線はすべて、ペンローズパターン全体の直線に完全につながります（図参照）。

There are five sets of parallel lines, but they are not perfectly regular. There are two different spacings, long and short, that do not follow a periodic pattern. Counting the number of longs and shorts in any section allows one to derive the Fibonacci sequence (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, etc.)—a sequence in which each number is the sum of the two preceding numbers. This sequence is seen in mathematics, nature, computer science, and optics among other observations and uses. Furthermore, the ratio of one Fibonacci number to the previous one approaches the golden ratio.5
　平行線は5組ありますが、完全な規則性はありません。長短2種類の間隔があり、周期的なパターンには従っていません。どの区間の長短の数を数えても、フィボナッチ数列（1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144、233など）を導き出すことができます。この数列は、数学、自然科学、コンピューターサイエンス、光学など、さまざまな観測や用途で見られます。さらに、フィボナッチ数と前の数の比は黄金比に近づきます。

Even though this world is fallen and subject to futility (Genesis 3), evidence of design and order—even in an aperiodic, irrational pattern like a Penrose tiling—shines through. Discoveries like these provide compelling evidence that our world and its fundamental principles exhibit a remarkable degree of fine-tuning.6
　この世界が堕落し、無益なものであっても（創世記3章）、ペンローズのタイリングのような非周期的で非合理的なパターンであっても、設計と秩序の証拠が輝いています。このような発見は、私たちの世界とその基本原理が驚くべき微調整の度合いを示していることを示す説得力のある証拠となります。

In Colossians 1:16–17, the apostle Paul speaks of the Designer who’s the source of this exquisite order: “For by Him all things were created that are in heaven and that are on earth, visible and invisible, whether thrones or dominions or principalities or powers. All things were created through Him and for Him. And He is before all things, and in Him all things consist.”

　コロサイ人への手紙1:16-17で、使徒パウロはこの絶妙な秩序の源である設計者について語っています：

コロサイ人への手紙1:16-17
16 なぜなら、万物は御子にあって造られたからです。天にあるもの、地にあるもの、見えるもの、また見えないもの、王座も主権も支配も権威も、すべて御子によって造られたのです。万物は、御子によって造られ、御子のために造られたのです。
17 御子は、万物よりも先に存在し、万物は御子にあって成り立っています。

ICR
https://www.icr.org/articles/type/9