とある3変数関数の最大値を考える

こんにちは。グレイシアってかわいいですよね。ポケモンスリープをやっているといつも癒されます。

今回は数学に関する記事ということですが最初に一つ、自分は数学家でも教師でも模試で全国1位を取るようなバケモンでもありません。ただただ数学が好きな高校生です。そのため内容に多少の誤りや分かりにくい点があるかもしれませんが許してください。もっとガチの数学の記事を読みたい方はMathlogに行って、どうぞ。

また、今回の記事は数Ⅰの二次関数までの範囲で理解することができるので、ぜひ気軽に読んでみてください。

では、本題に入りましょう

今回のテーマはこちらです。

a<b<cのとき、(a-b)(b-c)(c-a)の値が最大となるのはbがどのような値をとるときか。

これはとある大学のとある問題を解く過程で自分が考えたことなんですが、どの問題かは最後に述べます。では早速。

まずこの問題はbがどんな値かを聞かれています。そのため、与えられた式はa,b,cと3つも文字を含んでいて複雑そうに見えますが、一旦bだけに注目して考えてみましょう。

ある文字に注目するときは…そうです。因数分解の単元でやったように式をある文字について整理しましょう。
具体的には、今回はbについて整理するのでbが入っていない項、そしてbが入っているなかでもbが何乗されているかでまた分ける、という作業をします。
では手を動かしていきましょう。

まず式の最後にある(c-a)の部分。ここにはbが含まれていないので一旦このまま放置しておきましょう。今はb"だけ"に着目しているので。
残ったのは(a-b)(b-c)。どちらの括弧の中にもbが含まれているので一旦展開してみましょう。するとこうなります。

ab-ac-b^2+bc

これを先程の通りbについて整理するとこうなります。

-b^2+b(a+c)-ac

とりあえず式の整理は終わりました。
とここで、今はbに注目しているんでしたよね。なのでこの式をbを変数とみなした関数とみてみましょう。先程も言った通り今はb"だけ"に注目しているのでaとcは定数として考えましょう(簡単にいうと無視するということ。)。
ここで最終的に求めたいのは与えられた式の最大値です。今ある式はbのニ次関数、二次関数の最大値,最小値といえば平方完成でしたよね。
ということでこの式をbについて平方完成するとこうなります。

-[{b-(a+c/2)}^2]+{(a+c/2)^2}-ac

更に整理するとこうなります。

-[{b-(a+c/2)}^2]+{(a-c/2)^2}

ここでわかることはなんでしょう。
今はこの式が最大になる時を考えているため、bを含む
-[{b-(a+c/2)}^2]
の部分がなるべく大きくなってくれないと困ります。
ここでこの部分はある実数の2乗に-1をかけた数、つまりどんなに大きくとも0を超えることはないのです。
逆に言うと最大となるのは0のとき。つまり

b=a+c/2

のときなんです。
これを最初の式に代入して計算すると

{(c-a)^3}/4

つまり最初に与えられた式はb=a+c/2のときにこのような最大値をとることがわかりますね。

ですが何か忘れていませんか？そうです。最初の式の前にa<b<cという大小関係の設定がありました。ここでb=a+c/2は言い換えるとbはaとcの平均値だということです。2つの数の平均をとったら小さい方の数よりさらに小さくなった、大きい方の数よりさらに大きくなった、なんてあり得ませんよね。
数学的にちゃんと証明すると

a=a+a/2<a+c/2<c+c/2=c

a<cであることを利用すればこのようにしてb=a+c/2はちゃんとa<b<cを満たしていることがわかります。
ここでb=a+c/2のときに最初の式は最大値をとる、ということが確定する訳です。

最後に、この内容を考えるきっかけとなった問題、それが東北大の数学の入試問題。
簡単に言うと放物線上の3点を結んでできる三角形の面積の最大値を求めよ、という問題です。(F◯cus G◯ldという某参考書に載ってたやつ)

(1)で三角形の面積を文字で表し(2)で最大値を求める、という問題なのですが、(1)で出たその面積の式がまさに今回のテーマの式となっているんです。(正確には1/2がついています)

それでその参考書に載っている模範解答を読むと自分のものとは違う解法になっていました。(簡単にいうと大小関係の式を利用していい感じに不等式を作っていく解法。主題ではないので割愛。)

ですが今回解説した自分の解法も多分大丈夫です。(先生のチェック済)

ただこの問題が何年の問題かは書かれてないのでネットで調べることができないのが少し残念。もしかしたら他の解法もあるかもしれないので。
ということでいつの年の問題か知ってる人がいたらぜひ教えてください。
また今回の記事に誤りやアドバイスなどがあればそちらも教えてくださると助かります。今後の参考にします。

では今回はこの辺で終わりとしましょう。ありがとうございました。