モンティ・ホール問題 授業ノート

今日のspoonの授業枠では、多くの数学者を悩ませた有名な問題を扱った。

その名も、

モンティ・ホール問題

仰々しく書いたけど、問題自体は小学生でも理解できる。

しかも、理解するのに必要な前提知識は中学2年の確率程度。

それでも数学者を悩ませた問題だ。

さっそく問題を見ていこう。

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問題

あなたはクイズ番組の優勝者。

このクイズ番組の最後のコーナーでは、景品の新車を賭けてゲームを行う。

ゲームのルールは次の通りだ。

＝＜ルール＞＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

・あなたの目の前には3つのドアがある。

・1つは車、残りの2つはヤギが入っている。
（ヤギのドアを開いてもヤギはもらえない）

・あなたは3つのドアのうち、好きな扉を1つ選択できる。
（ただし、まだ開けない）

・司会者は他の2つのドアのうち、ハズレのドアを開ける。
(2つともハズレだった場合は、どちらか一方のドアをランダムに開ける)

・あなたは最初に選んだドアと、司会者が開けなかったドアのどちらかを改めて選択することができる。

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

さて、あなたは元のドアともう一方のドアのどちらを選ぶべきだろうか。

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例

若干わかりにくいから、例を見ていこう。

ドアにA、B、Cと名前を付けたとする。

あなたはAのドアを選んだとしよう。

司会者はBのドアを開けた。

さて、あなたはAのドアのままにするか。

それともCのドアに変更するか。

まずは、少し考えてみてほしい。

L(ﾟﾛﾟL)ｽﾞﾝ(ﾉﾟﾛﾟ)ﾉﾄﾞｺL(ﾟﾛﾟL)ｽﾞﾝ(ﾉﾟﾛﾟ)ﾉﾄﾞｺL(ﾟﾛﾟL)ｽﾞﾝ(ﾉﾟﾛﾟ)ﾉﾄﾞｺ

結論

さて、結論から言うと、

ドアを変える

が正解（よりよい選択）となる。

問題についての補足

解説の前に、この問題について簡単な説明を。

これは、アメリカのクイズ番組で本当にあった問題（ゲーム）だ。

クイズ番組の司会者の名前から、モンティ・ホール問題と呼ばれる。

番組を見た世界最高のIQの持ち主、マリリンという人物が雑誌のコラムに次のように投稿した。

「ドアを変更すべきだ。そうすると当たる確率が2倍になる。」

この正しい結果に対し、数学者を含む多くの人々が反論した。

「世界最高のIQの持ち主が…恥さらしだ」

それほどまでに、直感に反するこの結果に多くの人が困惑した。

これが、この問題が有名になった背景である。

では、なぜドアを変えるべきなのか。解説をしていこう。

解説

解説の方法はいくつかあるが、ここでは２通りの方法で解説する。

解説１．ハズレのドアを選ぶと必ず当たる戦法

まず、ドアを変えない場合の当たる確率は１／３である。

これはもう分かりきっている。

だから、ここからはドアを必ず変えることにして話を進めよう。

（１）はじめに、あなたが当たりのドアを選択した場合（確率は１／３）

→　司会者は残りのどちらか一方のドアを開け、あなたはドアを変える。

→　つまり、あなたが最後に選んだドアは必ずハズレとなる。

（２）はじめに、あなたがハズレのドアを選択した場合（確率は２／３）

→　司会者はもう一方のハズレのドアを開け、あなたはドアを変える。

→　したがって、あなたが最後に選んだドアは必ず当たりとなる。

（１）（２）から、ドアを必ず変える場合の当たる確率は２／３とわかる。

つまり、ドアを変えない場合に比べて、当たる確率が２倍になることがわかった。

解説２：ドアを増やす戦法

こちらの解説はかなり直感に頼った解説だ。

（モンティ・ホール問題自体、直感と数学的な結果が違うから、直感に訴えるのがいいのかは微妙だけど）

正確なモンティ・ホール問題はドアが３つだった。

ここで、ドアを１００個に増やそう。

すると、当たりは１個、ハズレは９９個。

司会者は最終的にあなたが選んだドアと、もう１つのドアを残し、

他すべてのハズレのドアを開ける。

ドアを変えないとすると確率は１／１００だ。

しかし、もう１つのドアに変えたら当たりやすそうと感じるだろう。

直感的だけど、数式を使わない説明として扱った。

最後に

枠でも言った通り、このモンティ・ホール問題の解説を

完璧に理解してもらうことが主目的ではない。

（もちろんわかってもらうのに越したことはないけど）

それ以上に、こういう直感に反する問題を考えることで、

これまで嫌でも勉強してきた算数・数学っていう教科にも

少しは役立つ可能性があるんだって、

活躍する場があるんだって、

今までよりもほんのちょっとでいいから

一人でも二人でも、感じてもらえたら嬉しいなって思って扱ってみた。

また、こういう授業枠はやりたいなと思っているから、

もし都合がよければまた聞いてみてね。

CASTもあげるようにするので！

では、また！

参考HP

正直、文字だけのこの note よりずっとわかりやすい HP がたくさんある。

次の HP を参考にして授業を組み立てたので、紹介しておく。

「モンティ・ホール問題を分かりやすく解説します – 絶対納得して欲しい！」
https://analytics-notty.tech/very-good-explain-montyhall-problem/

Wikipedia「モンティ・ホール問題」https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%A2%E3%83%B3%E3%83%86%E3%82%A3%E3%83%BB%E3%83%9B%E3%83%BC%E3%83%AB%E5%95%8F%E9%A1%8C