Q. 国連での出世について、コンサルで出世した経歴が、どのように国連での出世に繋がるのでしょうか

A. コンサルのみならず国連のトップは、下からの叩き上げではなく、政治的に任命された人も結構います。

例えば、こういうイメージでしょうか。 業界で有名になれば、政府の後押しを受けて、国連の上の方のポストができたりします。
https://ja.wikipedia.org/wiki/マーク・カーニー

国家公務員・外交官ならこのパターン https://ja.wikipedia.org/wiki/松浦晃一郎

政治家ならこういうパターンですね。 https://ja.wikipedia.org/wiki/ヘレン・クラーク

もちろん王道で弓削さんとか中満さんみたいなパターンもあります。 https://ja.wikipedia.org/wiki/弓削昭子
https://ja.wikipedia.org/wiki/中満泉