3月8日発売の拙著に掲載した問題に関する補足情報（３）

はじめに

　2021年3月8日に，拙著『公立入試数学「難化＆新傾向」問題ピックアップ』（東京出版）が刊行されました。
　企画意図や特徴は，こちらのツイートより返信の形でお読みいただけます。また，このツイート経由でamazonのページに飛ぶことができます。

2021年3月8日発売の拙著につきまして，企画意図や特徴を同業者の皆様・中学生小学生保護者の皆様に向けてこのツイートにぶらさげていきます。

秋田 洋和 の 公立入試数学「難化&新傾向」問題ピックアップ https://t.co/KtxFMzV4NR @amazon

— 秋田洋和：『公立入試数学「難化&新傾向」問題ピックアップ（東京出版）』3/8刊 (@FDHHIRO) February 17, 2021

　こちらでは，この書籍に掲載した問題に関する補足情報を公開していきます。ご購入された方（書籍をお持ちの方）向けの記事となりますが，ご購入いただいていない方でもお読みいただければ幸いです。

第３回　大学入試と同じ設定の問題？

　書籍がお手元にある方は，P100の例題１・・・①（2017年千葉県）とP103の演習問題１(2019富山県）をご覧ください。どちらも「円＋正三角形」に関する問題であることがわかります。これらと次の問題を照らし合わせてみてください。

　ある日，太郎さんと花子さんのクラスでは，数学の授業で先生から次の問題１が宿題として出された。下の問いに答えよ。なお，円周上に異なる２円をとった場合，弧は２つできるが，本問題において，弧は２つあるうちの小さい方を指す。

問題１　下図の正三角形ＡＢＣの外接円の弧ＢＣ上に点Ｘがあるとき，ＡＸ＝ＢＸ＋ＣＸが成り立つことを証明せよ。

　太郎さんたちは，次の日の数学の授業で問題１を証明した後，点Ｘが弧ＢＣ上にないときについて先生に質問をした。その質問に対して先生は，一般に次の定理が成り立つことや，その定理と問題１で証明したことを使うと，下の問題２が解決できることを教えてくれた。

　定理　平面上の点Ｘと正三角形ＡＢＣの各頂点からの距離ＡＸ，ＢＸ，ＣＸについて，点Ｘが三角形ＡＢＣの外接円の弧ＢＣ上にないときは，ＡＸ＜ＢＸ＋ＣＸが成り立つ。

　問題２　三角形ＰＱＲについて，各頂点からの距離の和ＰＹ＋ＱＹ＋ＲＹが最小になる点Ｙはどのような位置にあるか求めよ。

　太郎さんと花子さんは問題２について，次のような会話をしている。
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・
花子：問題１で証明したことは，２の線分ＢＸとＣＸの長さの和を１つの線分ＡＸの長さに置き換えられるってことだよね。
太郎：例えば，下図の三角形ＰＱＲで辺ＰＱを1辺とする正三角形をかいてみたらどうかな。ただし，辺ＱＲを最も長い辺とするよ。辺ＰＱに関して点Ｒとは反対側に点Ｓをとって，正三角形ＰＳＱをかき，その外接円をかいてみようよ。

花子：正三角形ＰＳＱの外接円の弧ＰＱ上に点Ｔをとると，ＰＴとＱＴの長さの和は線分　ア　の長さに等しいから，
　　　ＰＴ＋ＱＴ＋ＲＴ＝　ア　＋ＲＴ　になるね。
太郎：定理と問題１で証明したことを使うと問題２の点Ｙは，　点　イ　と点　ウ　を通る直線と　エ　の交点になることが示せるよ。
花子：でも，∠ＰＱＲが　オ　°より大きいときは，点　イ　と点　ウ　を通る直線と　エ　が交わらないから，∠ＱＰＲが　オ　°より小さいという条件がつくよね。
太郎：では，∠ＱＰＲが　オ　°より大きいときは，点Ｙはどのような点になるのかな。
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・
　
（１）線分ＡＸ上にＢＸ＝ＤＸとなる点Ｄをとって，問題１を証明せよ。
（２）文章中　ア　～　オ　にあてはまる適切な記号や数字をかけ。
（３）∠ＱＰＲが　オ　°より「小さいとき」と「大きいとき」の点Ｙの位置について，正しく述べよ。


大変長い文章ですが，これは2018年11月に実施された「大学入試共通テスト数学試行調査」の第５問（一部）です。これでも設問や文字数を削った状態でご紹介していることを覚えておいてください。

（１）は原題では「合同である2つの三角形を選ぶ」だけであり，①と②で共通して問われている証明問題よりも解きやすい設定でした。ところが公表された正答率は34.7％と低く，中学生のうちに「何を，どこまで」演習して理解しておけばよいのかに関する指針となっていることがわかります。

　是非保護者会などでご提示いただき，難化する高校入試問題の例として
拙著の掲載問題と比較されることをお勧めします。