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プログラミング今昔：コッホ曲線

クリヤキン

「フラクタルＣＧコレクション」渕上季代絵：サイエンス社　という本がある。
口絵にはマンデルブロ集合，ジュリア集合がカラフルに描かれている。
昭和62年（1987年）の発行。MS-DOS，BASIC全盛期の頃だ。
したがって，プログラムは BASIC。マンデルブロ集合を描くのに数分かかっていた。

　勤務校がＳＳＨ指定校だったころ，「情報」の代替として「サイエンス探究」という授業をやっていた。ＳＳＨなので，複素数平面を使って，マンデルブロ集合やジュリア集合を描かせる授業を行った。言語はCindyScript。タートルグラフィクスでコッホ曲線もやった。コッホ曲線は大学入試問題として出題されたこともあるので，題材としてもよい。
　描画に何分もかかっていたのでは授業では使えないが，そこはパソコンの性能向上とプログラミング言語のおかげで，数秒待つだけでよい。

　今年，理数科の３年生の情報で，プログラミングをやっている。媒介変数と曲線はCindyScript，統計（ヒストグラム，箱ひげ図，相関）はＲで。
その演習問題として，フラクタルを取り上げようかと思った。しかし

・タートルグラフィクスはそのためのシステムを作って渡す必要がある。
　Pythonならばタートルグラフィクスが使えるが，Pythonはやっていない。
・マンデルブロ集合は，原理は難しくないし，プログラム量も少ないが，描画のためにはCindyScriptの colorplot という関数を使う。Mathematica の DensityPlot と同じようなものだ。

　以前やった経験から，１コマの内容としてはどうかな，と思うところがある。テキスト通りに打ち込んでパラメータを変えてみるだけでは面白くない。主眼が「マンデルブロ集合とはなにか」ではなく「複素数平面とプログラミング」だからだ。

　そこで，複素数平面を使ってコッホ曲線を描くことを考えた。

　１本の線分を三等分し，中央で正三角形状に折り曲げる。はじめの線分をイニシエータ，折り曲げた折れ線をジェネレータと呼び，イニシエータの線分をジェネレータで置き換える。できた図形の各線分を再びジェネレータで置き換えると次のようになる。

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さらに置き換えを続けると次のようになっていく。　

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イニシエータを正三角形にすると，次のようになっていく。

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これがコッホ曲線で，前者を雲形曲線，後者を雪片曲線という。
これらを描画するにあたって，ジェネレータの描き方を考えてみよう。
線分を3等分して，中央を正三角形にする。このとき，座標で計算するより，複素数を使う方が簡単なのだ。
以前の教育課程なら，数学で行列を学んでいるので，回転行列が使える。今は行列がない代わりに複素数平面があるので，複素数を利用する。数学の復習にもなる。
　つぎに，線分をジェネレータで置き換えていく手続きを関数として作る。それぞれの頂点（線分の両端の点）はリストで表せるのでリスト処理でできる。

// 2点（複素数）を与えて，ジェネレータの点リストを返す
generator(z1,z2):=(
 z3=(2*z1+z2)/3;
 z4=(z1+2*z2)/3;
 z5=z3+(z4-z3)*(cos(pi/3)+i*sin(pi/3));
 [z1,z3,z5,z4,z2];
);
// 線分（折れ線）の置き換えをする
replacing(plist):=(
 work=[];
 repeat(length(plist)-1,s,
   work=work++generator(plist_s,plist_(s+1));
 );
 ret=[work_1];
 repeat(length(work)-1,s,
   if(work_s!=work_(s+1),
     ret=append(ret,work_(s+1));
   );
 );
 ret;
);
// ここから描画
apex=[0,6];
repeat(4,
 apex=replacing(apex);
);
pt=apply(apex,gauss(#));
connect(pt);
​

コメント行を除くと26行（空行１つ含む）だから，１コマの授業分としては適切な量だ。プログラミングをやったことのない人には読めないと思うが，Python などを使ったことのある人ならだいたいわかるだろう。そうでない人も，repeat は繰り返しだし，append は適用，apex は頂点 ，connect は繋ぐ　なので，なんとなくわかるかもしれない。

冒頭に挙げた「フラクタルＣＧコレクション」では次のようになっている。

画像4

行数も多いし，読んでも何をしているのか一度ではわからない。GOTOであっちこっち飛ぶのもなつかしいといえばなつかしい。
JavaScript や Python でプログラミングを始めた人には一苦労だろう。

まさに隔世の感がある。