愛知教育大学2012年：空間座標と軌跡

問題

原点をOとする座標空間内に点A(1, 0, 1 ) があり，平面 $${z=2}$$ 上に点(0, 0, 2)を中心とする半径１の円周Cがある。C上に動点Pがある。直線PAと$${xy}$$平面の交点をA'とするとき，A'の軌跡を求めよ。

　実際の問題には，このあと線分OA'が動いてできる図形の面積を求めるようになっていますが，A'の軌跡が求められれば解決します。
　図は簡単なのでイメージしやすいでしょう。ベクトルを使って計算すれば難しくはありません。PはC上の点なので，その座標を$${(\cos \theta, \ \sin \theta, 2)}$$ とおき，$${\overrightarrow{\rm{OA'}}=\overrightarrow{\rm{OA}}+t\overrightarrow{\rm{AP}}}$$ から，$${\overrightarrow{\rm{OA'}}=(2-\cos \theta,\ -\sin \theta,\ 0)}$$ が得られます。したがって，A'の軌跡は円です。
　計算は難しくありませんが，実際に動点Pを動かしてみましょう。

愛知教育大学2012年

始めは次の画面です。右側のボタンが表示されていない場合は再読み込みしてください。

左の2つの円は円形スライダです。図形を座標軸回りに回転して視点を変えることができます。なお，図は透視投影にしています。

軌跡表示ボタンで，A'の軌跡の表示をON/OFFできます。

「動かす」「止める」ボタンでアニメーションの開始・停止ができます。

座標空間における「射影」の問題。Pを光源として，点Aの影が$${xy}$$ 平面に描く図形です。

※ 図はCinderella(CindyJS)で作成しています。

←戻る