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広島大学2002年:放物線と軌跡

問題

直線 $${x+y=1}$$ 上の点Qと,放物線 $${y=x^2}$$ 上の点Rに対し,2つの半直線OQ, OR の,$${x}$$ 軸の正の向きから測った角をそれぞれ$${\alpha,\ \beta}$$ とおき,線分QRの中点をPとおく。2点Q, R が $${\alpha=\beta+45^{\circ}}$$ , 0°<$${\beta}$$<45° を満たすように動くとき,点Pの軌跡を求めよ。

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 実際の問題には誘導の小問がありますが,なくてもそれほど難しくありませんし,自由に発想できるのではないかと思います。直線と$${x}$$ 軸とのなす角が与えられているので,ポイントは傾きが $${\tan \alpha,\ \tan \beta}$$ で表される,ということでしょう。
 ともかく図を描いてみましょう。

リンク先を開くと次の図が出ます。「軌跡表示」ボタンが表示されていない場合は再読み込みしてください。

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計算する前に,右側のスライダで角を動かしてみると様子がわかるでしょう。「軌跡を表示」ボタンを押すのはあとにしましょう。

画像2

 計算の手順の一例です。直線OQの傾きは $${\tan \alpha}$$,直線ORの傾きは $${\tan \beta}$$,ですので,$${\alpha=\beta+45^{\circ}}$$ から2直線の関係がわかります。Q$${(q,\ -q+1)}$$ とおくと,R$${(1-2q,\ (1-2q)^2)}$$ となり,Pの座標が$${q}$$ で表せます。求める軌跡の方程式は,$${y=8x^2-3x+\dfrac{1}{2}}$$ です。ただし,全体ではありません。そこは計算してください。
 軌跡表示ボタンを押すと結果がわかります。


※図はCinderella(CindyJS)で作成しています。