インドラの真珠：メビウス変換と立体射影

　複素数平面を座標空間におけるxy平面として、点(0,0,1)を中心とする半径1の球面上の点との対応を考えます。
　点N(0,0,2) (地球でいえば北極）と球面上の点Ｐを結ぶ直線と、xy平面の交点をＱとすると、１：１の対応ができます。

Stereoproj

　リンク先を開くと，見出し画像の画面が出ます。画面右の矢印ボタンを押すと、球面上の点Ｐを上下左右（経線・緯線沿い）に動かすことができます。ただし、北極までは行けず、その近くまでです。

これで球面上の点と平面上の点が1:1に対応することがわかるでしょうか。ただし，ＰがNのときは無限遠点とします。
このようにして、球面上の点と平面との点を対応させることを「立体射影(stereographic projection」といいます。
　YouTubeにはメビウス変換と立体射影についての美しいビデオが、Douglas N. Arnold氏によって掲載されています。

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