インドラの真珠：複素数の累乗
「複素数の和と積」で述べたように，複素数の表現には $${a+bi}$$ という形の他に、極形式という形があります。極形式を用いると２つの複素数の積は次のように計算されます。
$${r_1(\cos \theta_1+i \sin \theta_1)⋅r_2(\cos \theta_2+i \sin \theta_2)}$$
$${=r_1 r_2\{ \cos( \theta_1+\theta_2)+ i \sin( \theta_1+\theta_2)\}}$$
すると、複素数 $${z=r(\cos\theta+i \sin \theta)}$$ の累乗は、次のようになります。
$${z^n=r^n(\cos n\theta+i \sin n\theta)}$$
n=1,2,3,・・・として複素数の累乗を複素平面上にプロットしていくと次のようになります。（位置はベクトルで表しています）
次のリンク先を開いて，実際に動かしてみましょう。
zの位置はベクトルの終点の赤い点をドラッグして変えることができます。
スライダによってn乗のnの値を変えることができます。
はじめの図は次のようになっています。
単位円周上に並んでいるのは，１の6乗根です。「単位円周上」ボタンをクリックすると，zの位置は単位円周上に限定することができます。
このとき（$${r=1}$$）は単位円周上に等間隔で並びます。このことを用いると、１のn乗根を計算することができます。
$${r \neq 1}$$のときは、螺旋を描きながら縮小または拡大していきます。この螺旋は対数螺旋と呼ばれるもので、巻き貝、銀河、植物など自然界の中に多く見られるものです。
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