積和で中和

$${N}$$ を自然数として、三角関数の和

$$
\displaystyle\sum^N_{n=1}\cos nx
$$

を考えます。$${N}$$は何でもいいのですが、例えば1億などの大きい数を入れてみると項数が多すぎてこの関数の計算は大変になりそうです。

そこでこの関数に $${\sin \frac{x}{2}}$$ を掛けてみます。すると不思議なことに

$$
\displaystyle\biggl(\sum^N_{n=1}\cos nx\biggr)\sin \frac{x}{2}=\displaystyle\frac{1}{2}\sin \biggl(N+\frac{1}{2}\biggr)x-\frac{1}{2}\sin \frac{x}{2}
$$

と、項数がたった二つになります。この等式は積和の公式

$$
\cos A\sin B=\frac{1}{2}(\sin (A+B)-\sin (A-B))
$$

を用いて示すことができます。実際、

$$
\begin{array}{}\displaystyle
\biggl(\sum^N_{n=1}\cos nx\biggr)\sin \frac{x}{2}&=&\displaystyle\sum^N_{n=1}\cos nx\sin \frac{x}{2}\\
&=&\displaystyle\frac{1}{2}\sum^N_{n=1}\biggl(\sin \bigg(n+\frac{1}{2}\bigg)x-\sin \bigg(n-\frac{1}{2}\bigg)x\biggr)\\
&=&
\displaystyle\frac{1}{2}\biggl(\sin \bigg(N+\frac{1}{2}\bigg)x-\sin \frac{x}{2}\biggr)
\end{array}
$$

です。最後の等式は $${\sin (n+\frac{1}{2})x}$$ と $${-\sin \bigl((n+1)-\frac{1}{2}\bigr)x}$$ が打ち消し合うことで成り立っています。

ちなみに、欲しかった式の両辺を $${\sin \frac{x}{2}}$$ で割ることでサムネ画像の式

$$
\displaystyle
\sum^N_{n=1}\cos nx=\frac{\displaystyle\sin\bigg(N+\frac{1}{2}\bigg)x}{\displaystyle 2\sin \frac{x}{2}}-\frac{1}{2}
$$

がしたがいます（なおこの式は複素関数論におけるオイラーの公式からも出ます）。