有理式から見る cos と sin の非対称性

有理数とは1, -4, \frac{2}{3}, 0.5のように整数を整数で割った形で表される数のことです。
次の主張の真偽を考えてみましょう。

(1) 三辺の長さが有理数の三角形ABCに対し、\cos A は有理数である。

(2) 三片の長さが有理数の三角形ABCに対し、\sin A は有理数である。

答え：
(1)は真です。辺BC, CA, ABの長さをそれぞれa, b, c とおくと余弦定理から

\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}

となるため。

一方で(2)は偽となります。例えば三辺の長さが1の正三角形。\sin A=\frac{\sqrt{3}}{2} となり、これは無理数ですね。