抵抗とリアクタンス　交流回路

交流回路

交流回路では、抵抗、コイル、コンデンサが回路要素として考えられる。
コイルやコンデンサは、インピーダンスで考える際、$${j\omega}$$や$${-j\frac{1}{\omega}}$$をつけて考える。
この記事では、なぜコイルやコンデンサに$${j\omega}$$や$${-j\frac{1}{\omega}}$$が付くのかを考える。

抵抗

抵抗はオームの法則より、

$$
v = Ri
$$

$${v}$$：電圧、$${i}$$：電流
で求まる。

そのため、正弦波交流電流$${i = I_{\rm{m}}\sin(\omega t + \theta_{I})}$$が抵抗に流れると、電圧は、

$$
v = RI_{\rm{m}}\sin(\omega t+ \theta_{I}) = V_{\rm{m}}\sin(\omega t+ \theta_{I})
$$

となり、電流と電圧の位相差はない。

コイル

インダクタンス$${L}$$のコイルに電流$${i}$$が流れたとき、コイルに発生する電圧$${v}$$は、

$$
v = L\frac{{\rm{d}}i}{{\rm{d}}t}
$$

となる。
正弦波交流電流$${i = I_{\rm{m}}\sin(\omega t+ \theta_{I})}$$がコイルに流れると、電圧は、

$$
\begin{align}
v &= L\frac{{\rm{d}}}{{\rm{d}}t}I_{\rm{m}}\sin(\omega t+ \theta_{I})\notag\\
&= \omega L I_{\rm{m}}\cos(\omega t+ \theta_{I})\notag\\
&=  \omega L I_{\rm{m}}\sin\left(\omega t + \theta_{I}+90\degree \right)\notag\\
\end{align}
$$

となる。
したがって、電圧は電流より位相が$${90\degree}$$進んでいる。
電圧を基準にすると、電流は$${90\degree}$$遅れている。

電圧の大きさは、$${\omega L I_{\rm{m}}}$$、位相差は$${\theta_{I}+90\degree }$$なので、これをフェーザ表示すると、

$$
\dot{V} = \omega L I_{\rm{m}}\angle (\theta_{I}+90\degree)
$$

となる。
ここで、$${I_{\rm{m}}\angle \theta_{I}}$$は、フェーザ表示した電流$${\dot{I}}$$なので、

$$
\dot{V} = \omega L \angle 90\degree \times \dot{I}
$$

となる。
これを複素数表示すると、$${j = 1\angle 90\degree}$$なので、

$$
\dot{V} = j \omega L\times \dot{I}
$$

となる。
したがって、コイルの場合は$${ j \omega }$$が付くことがわかる。

コンデンサ

静電容量$${C}$$のコンデンサに電圧$${v}$$をかけた時、流れる電流$${i}$$は、

$$
i = C\frac{{\rm{d}}v}{{\rm{d}}t}
$$

と表せる。
正弦波交流電圧$${v= V_{\rm{m}}\sin(\omega t+ \theta_{V})}$$をかけると、

$$
\begin{align}
i &= C\frac{{\rm{d}}}{{\rm{d}}t}V_{\rm{m}}\sin(\omega t+ \theta_{V})\notag\\
&= \omega C V_{\rm{m}}\cos(\omega t+ \theta_{V})\notag\\
&=  \omega C V_{\rm{m}}\sin\left(\omega t + \theta_{V}+90\degree \right)\notag\\
\end{align}
$$

となり、電流は電圧よりも位相が$${90\degree}$$進む。

電流の大きさは$${\omega C V_{\rm{m}}}$$であり、位相差は、$${\theta_{V}+90\degree}$$なので、フェーザ表示すると、

$$
\dot{I} = \omega C V_{\rm{m}}\angle (\theta_{V}+90\degree)
$$

となる。
ここで、$${V_{\rm{m}}\angle \theta_{V}}$$は、フェーザ表示した電圧$${\dot{V}}$$なので、

$$
\dot{I} = \omega C \angle 90\degree \times \dot{V}
$$

となる。
これを複素数表示すると、$${j = 1\angle 90\degree}$$なので、

$$
\dot{I} = j \omega C\times \dot{V}
$$

となる。
インダクタンスと表記を揃えるために$${\dot{V}=}$$の形に書き直すと、

$$
\dot{V} = -j\frac{1}{\omega C}\dot{I}
$$

となる。
したがって、コンデンサの場合は、$${-j\frac{1}{\omega}}$$が付くことが分かる。

サイト

https://sites.google.com/view/elemagscience/%E3%83%9B%E3%83%BC%E3%83%A0