抵抗の合成 電気回路
電気回路において、回路の特性を調べる際に、2つの抵抗を1つの抵抗のように見なしたりすることで、容易に特性を調べることができる。例えば、図1の左側の図のように、抵抗が2つの回路で回路に流れる電流$${I}$$を求める場合を考える。電流$${I}$$を求める手順の1例は以下の通り。
抵抗$${R_{1}}$$または、$${R_{2}}$$にかかる電圧を求める。
求めた電圧を抵抗値で割る。
次に図1の右側の図のように抵抗が1つの回路に流れる電流を求める場合を考える。この場合は、電源の電圧$${E}$$を抵抗$${R_{0}}$$で割るだけで良い。
このように、抵抗の個数を減らすことで、回路の特性を調べやすくなる。ここからは、図2に示すように、抵抗が2つの場合を考える。
抵抗の直列合成
2つの抵抗$${R_{1}}$$および$${R_{2}}$$を直列に接続した時の合成抵抗$${R_{0}}$$は、
$$
R_{0} = R_{1} + R_{2} \tag{1}
$$
で求めることができる。
・導出
図1の(a)の回路で電圧$${E}$$は次のように求まる。
$$
\begin{align}
E &= R_{1}I + R_{2}I \notag \\
&= (R_{1}+R_{2})I \tag{2}
\end{align}
$$
次に、図1(b)の回路で電圧$${E}$$を求めてみる。
$$
E = R_{0}I \tag{3}
$$
式(2)と式(3)において、電圧$${E}$$と電流$${I}$$がそれぞれ同じ値となる時、抵抗も同じ値になるはずである。このことから、次式が成り立つ。
$$
R_{0} = R_{1}+R_{2} \tag{4}
$$
抵抗の並列合成
2つの抵抗$${R_{1}}$$および$${R_{2}}$$を並列に接続した時の合成抵抗$${R_{0}}$$は、
$$
\frac{1}{R_{0}} = \frac{1}{R_{1}} + \frac{1}{R_{2}} \tag{5}
$$
となる。
・導出
図3の並列回路を考える。
図3(a)の回路において、電流$${I}$$を求める。電流$${I}$$は電流$${I_{1}}$$と電流$${I_{2}}$$を足したものであるから、
$$
I= I_{1}+I_{2} \tag{6}
$$
電流$${I_{1}}$$と電流$${I_{2}}$$はそれぞれ、
$$
\begin{equation}
\left.
\begin{aligned}
I_{1} &= \frac{E}{R_{1}} \\
I_{2} &= \frac{E}{R_{2}}
\end{aligned}
\right\} \tag{7}
\end{equation}
$$
よって電流$${I}$$は、式(6)に式(7)の結果を代入して、
$$
I= \frac{E}{R_{1}}+\frac{E}{R_{2}}=\left(\frac{1}{R_{1}}+\frac{1}{R_{2}}\right)E \tag{8}
$$
となる。次に図3(b)の回路において、電流$${I}$$を求めると、
$$
I= \frac{E}{R_{0}} \tag{9}
$$
式(8)と式(9)において、電圧$${E}$$と電流$${I}$$がそれぞれ同じ値となる時、抵抗も同じ値になるはずである。このことから、次式が成り立つ。
$$
\frac{1}{R_{0}} = \frac{1}{R_{1}} + \frac{1}{R_{2}} \tag{10}
$$
抵抗の個数が2個の場合においては、式(10)を通分して逆数を取ることで次式が得られる。
$$
R_{0} = \frac{R_{1}R_{2}}{R_{1}+R_{2}} \tag{11}
$$
抵抗の個数がn個の場合の合成抵抗
抵抗の個数が$${n}$$個になった場合でも導出方法は同じである。まず初めに図4の$${n}$$個直列の場合の合成抵抗を見ていく。
式(2)と同じように電圧$${E}$$を求めると、
$$
\begin{align}
E &= R_{1}I + R_{2}I+ \cdots + R_{n}I \notag \\
&= (R_{1}+R_{2}+ \cdots + R_{n})I \tag{12}
\end{align}
$$
次に、図4(b)の回路で電圧$${E}$$を求めてみる。
$$
E = R_{0}I \tag{13}
$$
式(12)と式(13)において、電圧$${E}$$と電流$${I}$$がそれぞれ同じ値となる時、抵抗も同じ値になるはずである。このことから、次式が成り立つ。
$$
R_{0} = R_{1}+R_{2}+\cdots+ R_{n} \tag{14}
$$
したがって、抵抗が直列に接続されているときの合成抵抗は、全ての抵抗を足し合わせることで求めることができる。
次に、図5のように抵抗が$${n}$$個並列に接続されている場合を見ていく。
式(6)と同じように電流$${I}$$を求めると、
$$
I= I_{1}+I_{2}+\cdots +I_{n} \tag{15}
$$
電流$${I_{1}}$$から電流$${I_{n}}$$はそれぞれ、
$$
\begin{equation}
\left.
\begin{aligned}
I_{1}&= \frac{E}{R_{1}} \\
I_{2}&= \frac{E}{R_{2}} \\
&\quad\vdots \\
I_{n}&= \frac{E}{R_{n}}
\end{aligned}
\right\} \tag{16}
\end{equation}
$$
よって電流$${I}$$は、式(15)に式(16)の結果を代入して、
$$
\begin{equation}
I= \frac{E}{R_{1}}+\frac{E}{R_{2}}+\cdots +\frac{E}{R_{n}} =\left(\frac{1}{R_{1}}+\frac{1}{R_{2}}+\cdots +\frac{1}{R_{n}}\right)E \tag{17}
\end{equation}
$$
となる。次に図5(b)の回路において、電流$${I}$$を求めると、
$$
I= \frac{E}{R_{0}} \tag{18}
$$
式(17)と式(18)において、電圧$${E}$$と電流$${I}$$がそれぞれ同じ値となる時、抵抗も同じ値になるはずである。このことから、次式が成り立つ。
$$
\frac{1}{R_{0}} = \frac{1}{R_{1}} + \frac{1}{R_{2}} + \cdots +\frac{1}{R_{n}}\tag{19}
$$
したがって、抵抗が$${n}$$個並列接続されている場合の合成抵抗は、各抵抗の逆数を足し合わせて、足し合わせたものの逆数になる。
サイト
https://sites.google.com/view/elemagscience/%E3%83%9B%E3%83%BC%E3%83%A0
この記事が気に入ったらサポートをしてみませんか？