行列の演算　線形代数学

和と差

2つの$${(m,n)}$$型行列

$$
 \bm{A} = \begin{pmatrix}
a_{11} &\cdots &  a_{1j} & \cdots & a_{1n} \\
\vdots &  & \vdots &  &\vdots \\
a_{i1} & \cdots & a_{ij}  & \cdots & a_{in} \\
\vdots & & \vdots  & &\vdots \\
a_{m1} & \cdots & a_{mj}  & \cdots & a_{mn} \\
\end{pmatrix}
,\quad
\bm{B} = \begin{pmatrix}
b_{11} &\cdots &  b_{1j} & \cdots & b_{1n} \\
\vdots &  & \vdots &  &\vdots \\
b_{i1} & \cdots & b_{ij}  & \cdots & b_{in} \\
\vdots & & \vdots  & &\vdots \\
b_{m1} & \cdots & b_{mj}  & \cdots & b_{mn} \\
\end{pmatrix}
$$

の和および差は、

$$
 \bm{A}+\bm{B} = \begin{pmatrix}
a_{11} \pm b_{11} &\cdots &  a_{1j} \pm b_{1j} & \cdots & a_{1n} \pm b_{1n} \\
\vdots &  & \vdots &  &\vdots \\
a_{i1} \pm b_{i1} & \cdots & a_{ij}  \pm b_{ij} & \cdots & a_{in} \pm b_{in}\\
\vdots & & \vdots  & &\vdots \\
a_{m1} \pm b_{m1} & \cdots & a_{mj}  \pm b_{mj} & \cdots & a_{mn} \pm b_{mn}\\
\end{pmatrix}

$$

で定義される。行列の各成分同士を足したり、引いたりすればよい。

スカラー倍

行列$${A}$$に実数$${k}$$を掛け算したスカラー倍は、

$$
 k\bm{A} = \begin{pmatrix}
ka_{11} &\cdots &  ka_{1j} & \cdots & ka_{1n} \\
\vdots &  & \vdots &  &\vdots \\
ka_{i1} & \cdots & k a_{ij}  & \cdots & ka_{in} \\
\vdots & & \vdots  & &\vdots \\
ka_{m1} & \cdots & k a_{mj}  & \cdots & ka_{mn} \\
\end{pmatrix}
$$

で定義される。各成分を$${k}$$倍すればよい。

演算法則

行列$${\bm{A,B,C}}$$をすべて同じ型とするとき、実数で成り立つような演算法則が行列でも成り立つ。
結合法則

$$
(\bm{A} +\bm{B}) + \bm{C} = \bm{A} +(\bm{B} + \bm{C}) 
$$

交換法則

$$
\bm{A} +\bm{B}= \bm{B} +\bm{A}
$$

分配法則

$$
k(\bm{A} +\bm{B})= k\bm{A} +k\bm{B} \\
(k+l)\bm{A} = k\bm{A}+l\bm{A}
$$

結合法則

$$
(kl)\bm{A} = k(l\bm{A})
$$

零行列との演算

$${(m,n)}$$型行列$${\bm{A}}$$と$${(m,n)}$$型零行列$${\bm{O}}$$について、

$$
\bm{A}+\bm{O} = \bm{O}+\bm{A}=\bm{A}\\
\bm{A}+(-\bm{A}) = (-\bm{A})+\bm{A}=\bm{O}
$$

が成り立つ。

$${\bm{A}+\bm{O}}$$は、行列$${\bm{A}}$$の各成分に0を足す操作であり、0を各成分に足しても元の成分のままである。よって、$${\bm{A}+\bm{O}}$$は$${\bm{A}}$$である。また、交換法則から、$${\bm{A}+\bm{O}}$$ = $${\bm{O}+\bm{A}}$$が成り立つ。

$${\bm{A}+(-\bm{A})}$$は、行列$${\bm{A}}$$の各成分に-1倍した成分を足す操作になる。具体的には(1,1)成分を$${a_{11}}$$とすれば、$${-a_{11}}$$を足すため、$${a_{11}+(-a_{11})=0}$$となり、各成分は0になる。すべての成分が0になる行列は零行列としているから、$${\bm{A}+(-\bm{A})=\bm{O}}$$となる。また、交換法則から、$${\bm{A}+(-\bm{A})}$$ = $${(-\bm{A})+\bm{A}}$$が成り立つ。

サイト

https://sites.google.com/view/elemagscience/%E3%83%9B%E3%83%BC%E3%83%A0