モジュラー形式とはなんぞや？

背景

今までの流れ

1. 楕円曲線 (E) が特定のガロア表現を持つことを示す。
2. このガロア表現がモジュラー形式に対応することを示す。（谷村-志村予想）
3. 特定のモジュラー形式が存在しないことを示すことで、対応する楕円曲線も存在しないことを証明する。（リブレット-タイラー定理）

では、「モジュラー形式」とはなんぞや？

本

数論幾何入門

でもこれ、Kindle本じゃないのよね。
紙の本は置き場所がねえ。

英語や中国語のWikiやWebで調べてみる

今はブラウザが自動翻訳してくれますから。
wikipedia

Modular form - Wikipedia

ここに書いてある通り以上のことは分かりません。
pythonからsagemathを使うと任意の楕円関数のモジュラー形式をフーリエ級数展開できるようです。
スクリプトは、

# ファイル名: level_11_modular_form.py

from sage.all import *

def main():
    # レベル 11 のモジュラー形式の空間を定義
    M = ModularForms(11)

    # 基底を取得
    basis = M.basis()
    
    print(f"Basis for ModularForms(11):")
    for f in basis:
        print(f)

    # 具体的な q 展開を表示
    print("\nq-expansions of the basis elements:")
    for f in basis:
        print(f.q_expansion(10))  # 最初の10項を表示

if __name__ == "__main__":
    main()

実行するには、
実行結果は、

% sage -python sage1.py
Basis for ModularForms(11):
q - 2*q^2 - q^3 + 2*q^4 + q^5 + O(q^6)
1 + 12/5*q + 36/5*q^2 + 48/5*q^3 + 84/5*q^4 + 72/5*q^5 + O(q^6)

q-expansions of the basis elements:
q - 2*q^2 - q^3 + 2*q^4 + q^5 + 2*q^6 - 2*q^7 - 2*q^9 + O(q^10)
1 + 12/5*q + 36/5*q^2 + 48/5*q^3 + 84/5*q^4 + 72/5*q^5 + 144/5*q^6 + 96/5*q^7 + 36*q^8 + 156/5*q^9 + O(q^10)

sagemath

q-expansions of the basis elements:
が出力されてきますが、モジュラー形式でのフーリエ級数展開であり
工学の知識ではよく分かりません。
これ以上追わないこととします。

所感

これ以上は工学の知識では無理です。