Robertsonの不等式

Robertsonの不等式(不確定性関係：Uncertainty relation)の証明をしてみます。間違ってたらすみません。

Robertsonの不等式

定理：Robertsonの不等式

$${H}$$を有限次元ヒルベルト空間とし、$${A, B\in B(H)}$$を自己共役作用素 (物理量)、$${\rho\in B(H)}$$を密度行列(状態)とする。このとき、標準偏差$${\Delta A, \Delta B}$$に対して、

$$
\Delta A \Delta B \geq \frac{1}{2}| Tr(\rho [A, B] ) |
$$

が成り立つ。
ただし、$${\Delta A = \sqrt{\sum_k (\lambda_k - \langle A\rangle)^2 p(\lambda_k)}}$$ ($${\langle A\rangle=Tr(\rho A) = \sum_k \lambda_k p(\lambda_k)}$$は期待値)、$${ [A,B] = AB - BA }$$である。

証明の前に便利な不等式を先に示しておきます。

Schwartzの不等式

補題：Schwartsの不等式

$${A, B \in B(H)}$$を自己共役作用素とするとき、次の不等式を満たす。

$$
\frac{1}{4} | \langle [A, B]\rangle |^2\leq \langle A^* A\rangle \langle B^* B\rangle
$$

補足：$${\langle A^*B\rangle}$$($${A, B\in B(H)}$$)は、内積の公理の非退化性以外の性質(正値性、後ろ線形性(第２変数の線形性)、エルミート対称性)を満たす。

Proof, まず、任意の実数$${x}$$に対して、$${A\in B(H)}$$に対して、$${\langle A^*A\rangle\geq 0}$$となるので、

$$
\langle (A+ixB)^*(A+ixB) \rangle \geq 0
$$

となります。一方で、$${(A+ixB)^*(A+ixB)}$$を分配すれば、

$$
\langle (A+ixB)^*(A+ixB) \rangle = \langle A^*A\rangle + ix \langle [A, B]\rangle + x^2 \langle B^*B\rangle\geq 0
$$

となります。この不等式は任意の$${x}$$で成り立つので、$${\langle B^*B\rangle\geq 0}$$のとき、判別式より、

$$
D/4 = \frac{1}{4}(i \langle [A,B]\rangle)^2 - \langle A^*A\rangle\langle B^*B\rangle\leq 0
$$

となり、$${\frac{1}{4} | \langle [A, B]\rangle |^2\leq \langle A^* A\rangle \langle B^* B\rangle}$$となります。

一方で、$${\langle B^*B\rangle = 0}$$のとき、$${\langle A^*A\rangle\geq 0}$$なので、不等式が成り立つためには、$${ \langle [A,B]\rangle = 0}$$のときです。

よって、Schwartzの不等式を示せました。

Robertsonの不等式の証明

準備パート

不等式の導出のために、少し準備をしていきます。
まず、$${\hat A = A - \langle A\rangle I}$$を考えてみます。ここで、$${I}$$は恒等作用素です。このとき、分散$${V(\hat A) = \sum_k (\lambda_k - \langle \hat A\rangle)^2 p(\lambda_k) = \langle \hat A^2\rangle - \langle \hat A\rangle^2}$$を考えると、$${V(A) = V(\hat A) }$$となります。
また、期待値について、$${\langle \hat A\rangle = 0}$$となるので、$${V(A) = V(\hat A) = \langle \hat A^2\rangle}$$となります。

さらに、$${\hat B}$$も$${\hat A}$$と同じように定義し、$${[\hat A, \hat B]}$$を考えると、$${[A,B] = [\hat A, \hat B]}$$となります。

$${\langle A\rangle\in \R}$$と$${I = U^*U = UU^*}$$(Uはユニタリ作用素)から、$${\hat A}$$は自己共役作用素と分かるので、

$$
V(A) = V(\hat A) = \langle \hat A^2\rangle =  \langle \hat A^* \hat A\rangle
$$

となります。

導出パート

さて、Robartsonの不等式を導出していきます。まず、期待値の定義から$${\langle A\rangle = Tr(\rho A)}$$であるから、

$$
\frac{1}{4} | Tr( \rho [A, B] )|^2 = \frac{1}{4}| \langle [A, B]\rangle |^2
$$

であり、$${[A,B] = [\hat A, \hat B]}$$なので、

$$
\frac{1}{4} | Tr( \rho [A, B] )|^2 = \frac{1}{4}| \langle [A, B]\rangle |^2  = \frac{1}{4}| \langle [\hat A, \hat B]\rangle |^2
$$

です。ここで、Schwartzの不等式より

$$
\frac{1}{4} | \langle [\hat A, \hat B]\rangle |^2\leq \langle \hat A^* \hat A\rangle \langle \hat B^* \hat B\rangle
$$

となります。最後に、$${V(A) = V(\hat A) = \langle \hat A^2\rangle = \langle \hat A^* \hat A\rangle}$$だったことを思い出して、

$$
\frac{1}{4} | \langle [\hat A, \hat B]\rangle |^2\leq \langle \hat A^* \hat A\rangle \langle \hat B^* \hat B\rangle = V(A)V(B)
$$

となります。

以上の議論をまとめると、

$$
\frac{1}{4} | \langle [A, B]\rangle |^2\leq V(A)V(B)
$$

であり、両辺に平方根ととれば、

$$
\frac{1}{2} |Tr( \rho [A, B] ) |\leq \Delta A\Delta B
$$

となり、Robartsonの不等式を導出できました。