豊臣秀吉と指数関数

どうもNekoShadowです。今回は豊臣秀吉の指数関数に関係するエピソードを紹介したいと思います。

指数関数の概要

指数関数の定義

$${y=a^x}$$
$${(a>0かつa\neq1)}$$

上記の形をとる関数をaを底とする指数関数といいます。

指数関数の形

$${0 < a < 1の場合、関数は単調減少します。}$$
$${例えば、y=(\tfrac{1}{2})^xは下記のような形になります。}$$

$${a>1の場合、関数は単調増加します。}$$
$${例えば、y=2^xは下記のような形になります。}$$

指数関数の重要な性質

指数関数的増加という言葉を一度は聞いたことがあると思いますが、指数関数的増加の意味は急激に増えるや爆発的に増えるという意味です。
指数関数は上記のグラフを見ればわかる通り、(a>1では)変数が大きくなればなるほど値が爆発的に大きくなっていきます。
これは指数関数の重要な性質であり、指数関数的増加という言葉の由来でもあります。

豊臣秀吉と指数関数

豊臣秀吉の指数関数に纏わるエピソードを書きます。
戦国時代や江戸時代初期には御伽衆(おとぎしゅう)と呼ばれる将軍や大名等の近くで話し相手をする役職があり、彼らは会話を通して知識や知恵などを授けたりしたそうです。
通常、御伽衆は大名1人につき3～10人程であるが豊臣秀吉はなんと800人もの御伽衆を抱えたといいます。
そんな大量の秀吉の御伽衆の一人に、曽呂利新左衛門(そろりしんざえもん)という男がいました。
ある時、秀吉は新左衛門に褒美を与えることにし、何がいいかと新左衛門に尋ねました。それに新左衛門はこう答えました。
「初日は1粒、2日目は倍の2粒、3日目はその倍の4粒と いった具合で、次々に倍をしていって、100 日目まで米粒を頂きたいです。」
秀吉は「そんなことでいいのか」と了承しました。
しかし秀吉は1日ごとに米粒の数を倍にしていくと100日目にはとんでもない数になることに途中で気づき、別の褒美に変えてもらったのでした。

これは$${y=2^x}$$の指数関数になっていますね。
15日目の米粒の数はx=14を代入して16384粒、1合が約6500粒くらいなので2.520615385合とそこまでの数にはなりませんが、x=29を代入して30日目に必要な米粒の量を調べてみると536870912粒。
つまり、5億3687万912粒です。合に換算すると82595.52492合です。とんでもない量ですね。
30日後ですらとんでもないのに、この値に2を掛けるのを70回すると考えると非常に恐ろしく、秀吉が別の褒美に変えてもらったのも納得です。。。

ここまで読んでくださりありがとうございました！
今回は指数関数の面白いエピソードを書きました。
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