過去問解説　東京大学大学院入試　工学研究科　平成27年数学　大問4

※間違っている部分があるかもしれません。

第4問

Oを原点とするxyz直交座標系に、実数\$${theta}$$により表される3つの点、$${P(cos\theta, sin\theta, 1)}$$, $${Q(-cos\theta, -sin\theta, -1)}$$および、 $${R(cos2\theta, sin2\theta, -1)}$$がある。以下の問いに答えよ。

 

Ⅰ　

線分$${\overline{PQ}}$$の長さを求めよ。

$$
\overline{PQ}^2=|\overrightarrow{PQ}|^2 \\
=|\overrightarrow{OQ}-\overrightarrow{OP}|^2 \\
=|\overrightarrow{OQ}|^2+|\overrightarrow{OP}|^2-2\overrightarrow{OQ} \cdot\overrightarrow{OP}
$$

であり、

$$
|\overrightarrow{OQ}|^2=(-cos\theta)^2+(-sin\theta)^2+(-1)^2=2 \\
|\overrightarrow{OP}|^2=(cos\theta)^2+(sin\theta)^2+1^2=2 \\
\overrightarrow{OQ} \cdot\overrightarrow{OP}=(-cos\theta)\cdot(cos\theta)+(-sin\theta)\cdot(sin\theta)+(-1)\cdot1 \\
=-2
$$

なので、

$$
\overline{PQ}^2=2^2+2^2-2\cdot(-2) \\
=4+4+4 \\
=12
$$

従って、

$$
\overline{PQ}=\sqrt{12}=2\sqrt{3}
$$