高校数学【確率分布・正規分布】 〈５〉 二項分布

　「数学B」分野のうち、【統計】分野について解説します。
新課程では必須の学習内容ですが、まだまだ高校での指導方法が確立していないんだよね。
　では、端的に、わかりやすく、解説していきましょう。
　ここからは、分布とその性質です。まずは、〈二項分布〉です。

〈二項分布〉

・これまで学んできた通り、「確率分布」を作るところからが始まりでした。ただ、例えば、袋の中から玉を取り出し、また戻すといった反復試行では、事象の起こる確率をp、回数を n回とすると、
　P(x) = nCr・p^r・(1-p)^(n-r)
の形で求められますし、これは、全ての反復試行で成り立ちます。
・そこで、反復試行によってできる（確率の表＝確率分布）を、「二項分布」と名付けます。
・「二項分布」を記号で表すと B(n、p) となります。このときのnは、反復の階数、pは事象の起こる確率です。
・「二項分布」では、
　平均         ：m = np
　分散         ：σ^2 = np(1-p)
　標準偏差：σ = √np(1-p)
で求められます。

［例題］
・赤玉３個、白玉２個が入っている袋から１個取り出し、色を確認してから元に戻します。この試行を100回繰り返します。（反復試行）
・赤玉の出る回数をXとして、回数Xの確率分布を考えていきます。

［解法］
① ターゲット事象（赤玉が出る）確率： p = 3/5
② 排反事象（白玉が出る）確率            ： 1-p = 2/5
③ 「確率分布」= 「二項分布」の表は、
       X ｜ 0                                                ｜ 1                                             ｜ 
       P ｜ 100C0・(3/5)^0・(2/5)^100｜ 100C1・(3/5)^1・(2/5)^99｜
       ・・・・・
       X ｜ 99                                             ｜ 100                                                ｜ 
       P ｜ 100C99・(3/5)^99・(2/5)^1｜ 100C100・(3/5)^100・(2/5)^0｜
　のように、101通りの確率の表となります。
　しかし、前半までの公式で平均や標準偏差を計算することは、101個の足し算や掛け算をすることになり、短時間では不可能です。
　回数が多い場合は、ぜひ、二項分布であることに気づき、③の公式に進みたいところです。　
③ 「二項分布」となれば、n=100、 p = 3/5、 1-p = 2/5 なので、
　平均        ：m = np = 100*3/5 = 60（回）
　分散        ：σ^2 = np(1-p) =  100*3/5*2/5 = 24 
　標準偏差：σ = √np(1-p) = √24 = 2√6（回）

［Method］
・（試行を繰り返す＝反復試行）が題材 ＝ 二項分布
　というイメージでいいでしょう。
・（多くの対象を調べる）が題材 ＝ 二項分布
　例えば、工場の製品の不良品率、アンケート結果などは、試行を繰り返すわけではありませんが、「検査・調査対象を１つ１つピックアップしてはチェックする」を繰り返しているので、反復試行の確率同様に考えることができ、二項分布となります。
　こちらの出題が圧倒的に多いのが、本分野の特徴でしょう。