【数列】漸化式〈4型〉 特性方程式

「数学B」分野のうち、【数列】漸化式について解説します。
漸化式の「基本４型」をまず整理しましょう。

〈４型〉 a[n+1]=p*a[n]+q

・qが無ければ等比数列。pが無ければ等差数列。
・残念ながら、そのどちらでもない。

[Method]
これは、最も多く出題される型でしょう。漸化式の代名詞的な存在で、a[n+1]とa[n]を仮にαとおく「特性方程式」を用います。
a[n+1]とa[n]を同じ値におくことは、違和感を感じる学生も多いと思いますが、変形のために利用する、と割り切って考える方が得策です。
のちに「数学Ⅲ」で学習する極限を考えに入れれば、a[n+1]とa[n]の極限が一致することから説明もつくように思われますが、これも後付けですね。

[解法]
1) a[n+1]とa[n]を仮にαとおいて方程式を作る。
2) 1)のαを用いて、a[n+1]-α=p*(a[n]-α)と変形をして等比数列を作る。
3) 数列{a[n]-α}は、初項がa-α、公比がpの等比数列。
よって、a[n]-α=(a-α)*p^(n-1)
つまり、a[n]=(a-α)*p^(n-1)+α

以上、「特性方程式による解法」と呼ぶことにしましょう。

解答例

問題