ひと続きのシュテルン＝ゲルラッハの実験③

(2)部屋とYシャツと私ではなくて座標回転とパウリ行列とスピン

シュテルン＝ゲルラッハ実験では、高温の原子のビームを装置に通過させて、上下に２本のビームに分かれるところを見た。

$${N}$$個の原子が、全体として磁気モーメントの合計が$${0}$$だったときには、上に$${N/2}$$個、下に$${N/2}$$個の原子が向かった。

以下は思考実験であるが、1個の原子を同じように装置を通過させると、ある原子は上向き、ある原子は下向きと、原子1個は必ずどちらかの状態になっているだろう。

さらに飛躍した考えの思考実験だが、1個の原子を空中に浮かせておいて、今度は、装置の方を（高速で）原子がその中を通過するように移動させれば、原子は、上向きか、下向きのどちらかに、（もそもそ、と）動きだすだろう。

（注意） いま、「上向き」という言葉を使ったが、これは、例の装置に「こっちが上向き」という方向を示すラベルが、例えば「$${\uparrow}$$」とかの記号が印刷されていれば、そのラベルの矢印の向きが「上向き」という意味である。

このとき、原子が上向きだったら「$${+1}$$」、下向きだったら「$${−1}$$」という数字が表示される便利な機械があったとしよう。あることにする。

すると、１個の原子に対して、

• 装置の「$${\uparrow}$$」を、３次元空間上のある方向に向けて、原子のなんかの物理量を測定すると、その物理量は、必ず「$${+1}$$」か「$${-1}$$」の値をとる。

この物理量を、以下では「スピン」と呼ぶことにする。

ここで、あえて図を書かないので、各自が頭の中で想像してもらいたいのだが、その実験の根本的性質として

• 装置の「$${\uparrow}$$」が、３次元空間のどの方向を向いていたとしても、測定値は「$${+1}$$」か「$${-1}$$」のいずれかになる。

つまり、測定を２回連続で行ったときに、例えば

1. 「$${\uparrow}$$」を実験室の$${+z}$$の方向に向けて、１回目の測定で「$${+1}$$」だったとしても、

2. 次に「$${\uparrow}$$」を他の方向に向けて測定すると、２回目の測定値は「$${+1}$$」だったり、「$${-1}$$」だったりする場合がある。

さてそれでは、行列とベクトルを使って、この、スピンの測定というものを書き表そう。

• 「$${\uparrow}$$」を$${+z}$$方向に向けてスピンを測定する演算子を$${\sigma_z}$$

• このとき、測定値が「$${+1}$$」となるスピンの状態を$${|u\rangle}$$

• また、測定値が「$${-1}$$」となるスピンの状態を$${|d\rangle}$$

と定義する。つまり、

$$
\begin{align*}
\sigma_z|u\rangle=&(+1)|u\rangle,\\
\sigma_z|d\rangle=&(-1)|d\rangle
\tag{31}
\end{align*}
$$

となるように、$${\sigma_z,|u\rangle,|d\rangle}$$を行列やベクトルを使って定義する。

$$
\begin{align*}
\sigma_z=\left ( \begin{matrix}
1 & 0 \\
0 & -1 \\
\end{matrix} \right ),
|u\rangle=\left ( \begin{matrix}
1 \\
0 \\
\end{matrix} \right ),
|d\rangle=\left ( \begin{matrix}
0 \\
1 \\
\end{matrix} \right )
\tag{32}
\end{align*}
$$

と定義してしまうのが、計算が簡単で良い。これらの量は、

$$
\begin{align*}
\sigma_z \sigma_z =
\left ( \begin{matrix}
1 & 0 \\
0 & -1 \\
\end{matrix} \right )
\left ( \begin{matrix}
1 & 0 \\
0 & -1 \\
\end{matrix} \right ) =
\left ( \begin{matrix}
1 & 0 \\
0 & 1 \\
\end{matrix} \right )
\tag{33}
\end{align*}
$$

$$
\begin{align}
\langle u|u\rangle=&
\left ( \begin{matrix}
1 & 0 \\
\end{matrix} \right )
\left ( \begin{matrix}
1 \\
0 \\
\end{matrix} \right )=1, \\
\langle d|d\rangle=&
\left ( \begin{matrix}
0 & 1 \\
\end{matrix} \right )
\left ( \begin{matrix}
0 \\
1 \\
\end{matrix} \right )=1 ,\\
\langle u|d\rangle=&
\langle d|u\rangle=0
\tag{34}
\end{align}
$$

という、基本的な性質を持つ。それで、例えば、スピンが

$$
\begin{align*}
|\Psi\rangle=a|u\rangle+b|d\rangle,(|a|^2+|b|^2=1)
\tag{35}
\end{align*}
$$

の状態にあったとき、$${\sigma_z}$$を測定して$${|u\rangle}$$となる確率が$${P_1}$$、$${|d\rangle}$$となる確率が$${P_2}$$であったなら、

$$
\begin{align*}
P_1=|a|^2=a^{*} a,
P_2=|b|^2=b^{*} b
\tag{36}
\end{align*}
$$

という関係がある。次の段階として、

• 「$${\uparrow}$$」を$${+x}$$方向に向けてスピンを測定する演算子を$${\sigma_x}$$

• このとき、測定値が「$${+1}$$」となるスピンの状態を$${|r\rangle}$$

• また、測定値が「$${-1}$$」となるスピンの状態を$${|l\rangle}$$

と定義する。このとき、装置は、$${\sigma_z}$$に対して

• $${y}$$軸を中心に90度回転させて「$${\uparrow}$$」が$${+x}$$方向に向いた状態

であるとする。先程と同じように、

$$
\begin{align*}
\sigma_x|r\rangle=&(+1)|r\rangle,\\
\sigma_x|l\rangle=&(-1)|l\rangle
\tag{37}
\end{align*}
$$

であるべきで、これらも、

$$
\begin{align*}
\sigma_x \sigma_x =
\left ( \begin{matrix}
1 & 0 \\
0 & 1 \\
\end{matrix} \right )
\tag{38}
\end{align*}
$$

$$
\begin{align}
\langle r|r\rangle=&
\langle l|l\rangle=1 ,\\
\langle r|l\rangle=&
\langle l|r\rangle=0
\tag{39}
\end{align}
$$

という性質を持つ。

もしも、$${\sigma_x}$$を測定してスピンが$${|r\rangle}$$だったときに、その後で$${\sigma_z}$$を測定すれば、$${|u\rangle}$$である確率と$${|d\rangle}$$である確率とは、等しく$${1/2}$$だろう。

つまり、スピンが

$$
\begin{align*}
|\Psi\rangle=|r\rangle＝a|u\rangle+b|d\rangle
\tag{40}
\end{align*}
$$

ならば、

$$
\begin{align*}
|a|^2=|b|^2=\frac{1}{2}
\tag{41}
\end{align*}
$$

でなくてはいけない。それで、

$$
\begin{align*}
|r\rangle＝\frac{1}{\sqrt{2}}|u\rangle+\frac{1}{\sqrt{2}}|d\rangle
=\frac{1}{\sqrt{2}}\left ( \begin{matrix}
1 \\
1 \\
\end{matrix} \right )
\tag{42}
\end{align*}
$$

であると定義する。

また、同様に、もしも、$${\sigma_x}$$を測定してスピンが$${|l\rangle}$$だったときに、その後で$${\sigma_z}$$を測定すれば、$${|u\rangle}$$である確率と$${|d\rangle}$$である確率とは、等しく$${1/2}$$だろう。

つまり、スピンを

$$
\begin{align*}
|l\rangle＝a'|u\rangle+b'|d\rangle
\tag{43}
\end{align*}
$$

とすると、こちらも

$$
\begin{align*}
|a'|^2=|b'|^2=\frac{1}{2}
\tag{44}
\end{align*}
$$

であるが、式$${(39)}$$の関係があるので、

$$
\begin{align*}
|l\rangle＝\frac{1}{\sqrt{2}}|u\rangle-\frac{1}{\sqrt{2}}|d\rangle
=\frac{1}{\sqrt{2}}\left ( \begin{matrix}
1 \\
-1 \\
\end{matrix} \right )
\tag{45}
\end{align*}
$$

と定義しよう。これで、任意のスピンは

$$
\begin{align*}
|\Psi\rangle
=c_u|u\rangle+c_d|d\rangle
=c_r|r\rangle+c_l|l\rangle
\tag{46}
\end{align*}
$$

のように、常に$${|u\rangle}$$と$${|d\rangle}$$の重ね合わせで表すことができて、同じ状態を$${|r\rangle}$$と$${|l\rangle}$$の重ね合わせでも表すことができる。

また、式$${(37)}$$と式$${(38)}$$から、$${\sigma_x}$$は

$$
\begin{align*}
\sigma_x =
\left ( \begin{matrix}
0 & 1 \\
1 & 0 \\
\end{matrix} \right )
\tag{47}
\end{align*}
$$

と定義できる。最後に、

• 「$${\uparrow}$$」を$${+y}$$方向に向けてスピンを測定する演算子を$${\sigma_y}$$

• このとき、測定値が「$${+1}$$」となるスピンの状態を$${|f\rangle}$$

• また、測定値が「$${-1}$$」となるスピンの状態を$${|b\rangle}$$

と定義する。このとき、装置は、$${\sigma_x}$$に対して

• $${z}$$軸を中心に90度回転させて「$${\uparrow}$$」が$${+y}$$方向に向いた状態

であるとする。いままでと同じように、

$$
\begin{align*}
\sigma_y|f\rangle=&(+1)|f\rangle,\\
\sigma_y|b\rangle=&(-1)|b\rangle
\tag{48}
\end{align*}
$$

であるべきで、これらも、

$$
\begin{align*}
\sigma_y \sigma_y =
\left ( \begin{matrix}
1 & 0 \\
0 & 1 \\
\end{matrix} \right )
\tag{49}
\end{align*}
$$

$$
\begin{align}
\langle f|f\rangle=&
\langle b|b\rangle=1 ,\\
\langle f|b\rangle=&
\langle b|f\rangle=0
\tag{50}
\end{align}
$$

という性質を持つが、今度は、

$$
\begin{align*}
|\langle f|u \rangle|^2
=|\langle f|d \rangle|^2
&=\frac{1}{2} ,\\
|\langle b|u \rangle|^2
=|\langle b|d \rangle|^2
&=\frac{1}{2} ,\\
|\langle f|r \rangle|^2
=|\langle f|l \rangle|^2
&=\frac{1}{2} ,\\
|\langle b|r \rangle|^2
=|\langle b|l \rangle|^2
&=\frac{1}{2}
\tag{51}
\end{align*}
$$

という、少々キツめの条件を満たす必要がある。

$$
\begin{align*}
|f\rangle=&\alpha|u\rangle+\beta|d\rangle,\\
|b\rangle=&\gamma|u\rangle+\delta|d\rangle
\tag{52}
\end{align*}
$$

とおくと、

$$
\begin{align*}
\alpha^{*}\alpha=\beta^{*}\beta=
\delta^{*}\delta=\gamma^{*}\gamma=\frac{1}{2}
\tag{53}
\end{align*}
$$

という条件と、

$$
\begin{align*}
\langle r|f \rangle =&
\frac{1}{\sqrt{2}}\left( \langle u|+\langle d|\right) \left(\alpha |u\rangle+\beta|d\rangle \right)\\
=&\frac{1}{\sqrt{2}}\left( \alpha +\beta \right)
\tag{54}
\end{align*}
$$

より、

$$
\begin{align*}
|\langle r|f \rangle|^2 =
\frac{1}{2}\left( \alpha^{*}\alpha+\alpha^{*}\beta+\alpha\beta^{*} +\beta^{*}\beta \right)
=\frac{1}{2}
\tag{55}
\end{align*}
$$

つまり、

$$
\begin{align*}
\alpha^{*}\alpha+\alpha^{*}\beta+\alpha\beta^{*} +\beta^{*}\beta=1
\tag{56}
\end{align*}
$$

だが、式$${(53)}$$より

$$
\begin{align*}
\alpha^{*}\beta+\alpha\beta^{*}=0
\tag{57}
\end{align*}
$$

したがって、

• $${\alpha^{*}\beta}$$は純虚数である。

また、同様に、

$$
\begin{align*}
|\langle r|b \rangle|^2 =
\frac{1}{2}\left( \gamma^{*}\gamma+\gamma^{*}\delta+\gamma\delta^{*} +\delta^{*}\delta \right)
=\frac{1}{2}
\tag{58}
\end{align*}
$$

より、

$$
\begin{align*}
\gamma^{*}\delta+\gamma\delta^{*} =0
\tag{59}
\end{align*}
$$

したがって、

• $${\gamma^{*}\delta}$$は純虚数である。

この条件で、式$${(52)}$$の係数を定めると、

$$
\begin{align*}
|f\rangle=&\frac{1}{\sqrt{2}}|u\rangle+\frac{i}{\sqrt{2}}|d\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}\left ( \begin{matrix}
1 \\
i \\
\end{matrix} \right ),\\
|b\rangle=&\frac{1}{\sqrt{2}}|u\rangle-\frac{i}{\sqrt{2}}|d\rangle
=\frac{1}{\sqrt{2}}\left ( \begin{matrix}
1 \\
-i \\
\end{matrix} \right )
\tag{60}
\end{align*}
$$

と定義することができる。これより、式$${(48)}$$を満たす$${\sigma_y}$$は、

$$
\begin{align*}
\sigma_y =
\left ( \begin{matrix}
0 & -i \\
i & 0 \\
\end{matrix} \right )
\tag{61}
\end{align*}
$$

と定義することができる。

このように定義した$${\sigma_x,\sigma_y,\sigma_z}$$はパウリ行列と呼ばれ、

$$
\begin{align*}
\sigma_x\sigma_y=&i\sigma_z, \\
\sigma_y\sigma_z=&i\sigma_x, \\
\sigma_z\sigma_x=&i\sigma_y
\tag{62}
\end{align*}
$$

という対称性がある。さて、

• 任意のスピンは、互いに独立な２つの状態の重ね合わせで表すことができる。

• そして、装置の「$${\uparrow}$$」の向きを３次元空間上の任意の方向に向けたときに、必ず測定値が「$${+1}$$」となるようなスピンの状態は必ず存在する。

• しかも、スピンの任意の状態には、装置の「$${\uparrow}$$」を３次元のどこかの方向に向ければ、測定すると必ず「$${+1}$$」となるような方向が存在する。

そこで、装置を、３次元空間上のある方向

$$
\begin{align*}
\boldsymbol{n}=\left(n_x,n_y,n_z\right)
\tag{63}
\end{align*}
$$

に向けたとき、スピン

$$
\begin{align*}
|+\rangle
=c_u|u\rangle+c_d|d\rangle
\tag{64}
\end{align*}
$$

を測定すれば、必ず「$${+1}$$」の値が出る状況を考える。

$$
\begin{align*}
\sigma_+|+\rangle=(+1)|+\rangle
\tag{65}
\end{align*}
$$

を満たす$${\sigma_+}$$は、パウリ行列を成分にもつ３次元ベクトルを

$$
\begin{align*}
\boldsymbol{\sigma}=\left(\sigma_x,\sigma_y,\sigma_z\right)
\tag{66}
\end{align*}
$$

と定義すれば、方向$${\boldsymbol{n}}$$のスピン測定の演算子は、

$$
\begin{align*}
\sigma_+=\boldsymbol{\sigma}\cdot \boldsymbol{n}=n_x \sigma_x+ n_y \sigma_y+ n_z\sigma_z
\tag{67}
\end{align*}
$$

と書くことができる。

たとえば、$${\boldsymbol{n}}$$の方向が、$${z}$$軸の方向を$${y}$$軸を中心に角度$${\theta}$$回転させて$${x}$$軸の方に傾けたものだった場合、つまり、$${\boldsymbol{n}}$$は$${(z,x)}$$平面上にあって、$${z}$$軸との角度が$${\theta}$$の場合を考える。

$$
\begin{align*}
\boldsymbol{n}=\left(\sin\theta,0,\cos\theta\right)
\tag{68}
\end{align*}
$$

なので、

$$
\begin{align*}
\sigma_+=\boldsymbol{\sigma}\cdot \boldsymbol{n}= \sigma_x\sin\theta+ \sigma_z\cos\theta
\tag{69}
\end{align*}
$$

これは、

$$
\begin{align*}
\sigma_+=
\left ( \begin{matrix}
\cos\theta\ & \sin\theta \\
\sin\theta & -\cos\theta
\end{matrix} \right )
\tag{70}
\end{align*}
$$

となる。この行列の固有ベクトルを

$$
\begin{align*}
|+\rangle=
\left ( \begin{matrix}
\cos\alpha \\
\sin\alpha 
\end{matrix} \right )
\tag{71}
\end{align*}
$$

と仮定し、その時の固有値が$${(+1)}$$だったとすると、

$$
\begin{align*}
\left ( \begin{matrix}
\cos\theta\ & \sin\theta \\
\sin\theta & -\cos\theta
\end{matrix} \right )
\left ( \begin{matrix}
\cos\alpha\ \
\sin\alpha \
\end{matrix} \right )=
\left ( \begin{matrix}
\cos\alpha \\
\sin\alpha 
\end{matrix} \right )
\tag{72}
\end{align*}
$$

したがって、

$$
\begin{align*}
\cos\alpha=&
\cos\theta\ \cos\alpha+ \sin\theta \sin\alpha=\cos(\theta\ -\alpha),\\
\sin\alpha=&
\sin\theta\ \cos\alpha- \cos\theta \sin\alpha=\sin(\theta\ -\alpha)
\tag{73}
\end{align*}
$$

でなくてはいけない。そのためには、$${\alpha=\theta/2}$$であれば良い。つまり、

$$
\begin{align*}
|+\rangle=
\begin{pmatrix}
\cos\frac{\theta}{2} \\[2pt]
\sin\frac{\theta}{2}
\end{pmatrix}
\tag{74}
\end{align*}
$$

である。いくつかの例として、$${\theta}$$に具体的な数値を入れてみると、

$$
\begin{align*}
\theta=0^{\circ} \mapsto |+\rangle =&\begin{pmatrix}
1 \\
0
\end{pmatrix}=|u\rangle ,\\
\theta=90^{\circ} \mapsto |+\rangle =&\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}
1 \\
1
\end{pmatrix}=|r\rangle ,\\
\theta=180^{\circ} \mapsto |+\rangle =&\begin{pmatrix}
0 \\
1
\end{pmatrix}=|d\rangle ,\\
\theta=270^{\circ} \mapsto |+\rangle =&\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}
-1 \\
1
\end{pmatrix}=-|l\rangle ,\\
\theta=360^{\circ} \mapsto |+\rangle =&\begin{pmatrix}
-1 \\
0
\end{pmatrix}=-|u\rangle \\
\tag{75}
\end{align*}
$$

また、スピンの状態が式$${(74)}$$の $${|+\rangle}$$であるとき、装置の「$${\uparrow}$$」を$${+z}$$方向にしてスピンを測定すると、「$${+1}$$」が出る場合と「$${-1}$$」が出る場合があって、それを何回も繰り返して、測定値の平均値を計算すると、

$$
\begin{align*}
\langle+|\sigma_z|+\rangle=&
(+1)\cos^2\frac{\theta}{2} +(-1)
\sin^2\frac{\theta}{2} \\
=&\cos\frac{\theta}{2}\cos\frac{\theta}{2}
-\sin\frac{\theta}{2}\sin\frac{\theta}{2}\\
=&\cos\theta
\tag{76}
\end{align*}
$$

という、$${+z}$$方向の単位ベクトルと、$${\boldsymbol{n}}$$との内積の値に等しくなる。