English Grammar in Use Unit 21 Will / shall 1
will （省略形 'll）を使うのは行動等を決意したことを伝える時です。
"What would you like to drink?" "I will have an orange juice, please."
お飲み物はいかかがなさいますか？ オレンジジュースをいただきます。
I'll go and shut the door. のような場合は現在形（I go and shut）は使えません。
理由について詳しく書いていないので検索したのですが、はっきりとしたことがわかりませんでした。
このリンクの will を使う場合の例で I'll go が使われている文章の説明で For plans or decisions made at the time of speaking. （会話をした時にした計画、決意に対して使う）となっていることと Unit 2 で現在形は一般的な事柄、常にまたは繰り返し起こること、真実であることに対して使うとあったので ❌I go ではなく ⭕️ I'll go を使うのだと思います。
（何かわかり次第補足します）
よく使われる表現として I think I'll ... と I don't think I'll ... があります。
口語系の will の否定形（will not）は won'tです。
I feel a bit hungry. I think I'll have something to eat.
少しお腹が減った。何か食べると思う。
I don't think I'll go out tonight. I'm too tired.
今夜は出かけないと思う。疲れ過ぎている。
I can see you're busy, so I won't stay long.
あなたが疲れているのはわかっているから長居はしない。
I think I'll ... を否定形にする時は think を否定形にします。I'll を I won't にはしません。
I don't think I'll go out tonight. I'm too tired.
（❌I think I won't go out tonight）
will を使う状況
提案する時
That bag looks heavy. I'll help you with it.
鞄が重そうです。お手伝いしましょうか。
同意する時
A: Can you give Tim this book? ティムにこの本を渡してくれる。
B: Sure, I'll give it to him when I see him this afternoon. もちろん、午後彼に会う時に渡すね。
約束する時
Thanks for lending me the money. I'll pay you back on Friday.
お金を貸してくれてありがとう。金曜日に返すね。
何か尋ねる、お願いする時
Will you please turn the music down? I'm trying to concentrate.
音楽の音を下げてくれませんか？集中しようとしているので。
won't は誰か / 何かが拒否する行動に対しても使います。
I've tried to give her advice, but she won't listen.
彼女にアドバイスしよとしたけれど、彼女は聞かない。
The car won't start.
この車は動かない。（この車が動くことを拒否しているという状態ととらえます）
Shall は主に意見を尋ねたり提案をしたりする時の疑問形で使われます。（shall I ... ? / Shall we ... ?）
Shall I open the window? = Do you want me to open the window?
窓を開けましょうか？
Shall I ... ? と Will you ... ? の違い
Shall I shut the door? = Do you want me to shut the door?
ドアを締めましょうか？
（相手にドアを閉めて欲しいかどうかの意見を尋ねている）
Will you shut the door? = I want you to shut it.
ドアを閉めてくれませんか？
（相手にドアを閉めて欲しいとお願いしている）
サポートしたい？ぜひ！