じゃんけんであいこになる確率を一般化しよう

はじめに

こんにちは。鶴の剣教信者の、chihiと申します。
この記事では、自分の好きな分野、確率のちょっとした問題ついて少し書いてみます。

導入

皆さんは、じゃんけんをしたときにあいこになる確率を求めたことがありますか?
確率の授業でよく出ると思っている問題です。
自分はこの問題を見たとき、何を思ったか一般化しようとしました。
というわけで早速解いていきます。

解く

あいこになる条件を調べる

じゃんけんをしたときに「あいこになる」、というのは「勝負が決まらなかった」ということです。
なので1から「勝負が決まらない」確率を引けばokです。

勝負が決まるのはどのようなときか

勝負が決まるためには、ちょうど二種類の手がでる必要があります。
ここで、ある一人の人が「グー」を出したと仮定すると、残りのN-1人の人全員が「グーまたはパー」または「グーまたはチョキ」を出せばいいわけです。
ただし、全員が「グー」を出してしまったら、それはあいこであるため除く必要があります。

計算する

N-1人の人全員が「グーまたはパー」を出す組み合わせを求めます。
一人一人が出せる手は2種類です。
よってN-1乗して$${2^{N-1}}$$通りの出し方があることがわかります。
そしてここから全員が「グー」を出す組を除き$${{2^{N-1}}-1}$$通りの出し方があることがわかります。
N-1人の人全員が「グーまたはチョキ」を出す組み合わせも数は同じであるため(両方とも出せる手の種類が変わっただけ)、
二倍して$${{2*({2^{N-1}}-1)}={{2^N}-2}}$$通りの出し方があることがわかりました。

ここで、一人一人出すことが出来るすべての手は3種類あるので、$${3^{N-1}}$$で割って$${{{2^N}-2} \over {3^{N-1}}}$$の確率で勝負が決まることが求められます。

後はこれを1から引き、$${1 - {{{2^N}-2} \over {3^{N-1}}}}$$が答えであると求められました。

まとめ

今回は微妙に使いどことのない、「じゃんけんであいこになる確率」の公式(?)を求めました。
実際使い道があるのかといわれると、テストの時に確かめ算に使うぐらいしかないような気がします。
皆さんは何か使い道があると思いますか?

以上がじゃんけんであいこになる確率です。
ご清覧ありがとうございました。