足し算カード～不思議な数式の謎 前編
この動画で紹介されていた足し算カードを使った数学マジックについて、その種明かしに挑戦してみませんか？
どうもみなさんこんにちは。お元気でしょうか？Calendar Watcherの鈴木です。今回のシリーズ（全二回）では私が最近作った「足し算カードの問題」についてとりあげてみたいと思います。
足し算カードの問題.
表1に示された6種類のカードがゲームボード上に置かれています. これらのカードは表と裏に数値が記されており, それぞれのタイプごとに定められた枚数があります. プレイヤーはゲームボード上からカードをランダムに除外することによって, 0枚以上15枚以下の任意の枚数のカードを選びます. 選ばれたカードについて, 表の数値の合計が$${n}$$のとき, 裏の数値の合計が$${n + \left\lfloor \frac{n}{5} \right\rfloor - \left\lfloor \frac{n}{50} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{n}{100} \right\rfloor}$$となることを証明してください.
表1:
$$
\begin{array}{c:c:c}
\text{表} & \text{裏} & \text{枚数}\\ \hline
500 & 595 & 1 \\ \hdashline
100 & 119 & 4 \\ \hdashline
50 & 59 & 1 \\ \hdashline
10 & 12 & 4 \\ \hdashline
5 & 6 & 1 \\ \hdashline
1 & 1 & 4 \\
\end{array}
$$
背景
この問題から得られる知識を応用すると、Fairfield公式というよく知られた日数計算法についての知見が得られます。
Fairfield公式：
$$
d = 365Y + \left\lfloor \frac{Y}{4} \right\rfloor - \left\lfloor \frac{Y}{100} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{Y}{400} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{306(M+1)}{10} \right\rfloor + D - 428
$$
式の$${Y}$$に関する計算部分を見てみてください。問題の式と似ているとは思いませんか？実際表２のようなカードセットを用意すれば、そのカードを使って式の該当部分を計算することができます。（ただし$${0≤Y≤9999}$$とする。）(*1)
表2：
$$
\begin{array}{c:c:c}
\text{表} & \text{裏} & \text{枚数}\\ \hline
2000 & 730485 & 4 \\ \hdashline
400 & 146097 & 4 \\ \hdashline
100 & 36524 & 3 \\ \hdashline
20 & 7305 & 4 \\ \hdashline
4 & 1461 & 4 \\ \hdashline
1 & 365 & 3 \\
\end{array}
$$
*1: アルゴリズムは私が以前紹介した指カレンダーだったり、あるいはカレンダータワーなどのC-Watcher製プロダクトにも使われています。
補助ツール
問題を解くためにカードのセットをシミュレートできるwebアプリをC-Watcher公式サイトで公開しているので、お役立てください。
必要知識と対象者
この問題を解くために高度な専門知識等は必要ありません。中学生ぐらいから挑戦できると思います。具体的には以下の知識を利用してみてください。（とはいえかなり難しく、一般向けとは言えない内容です。）
利用できる定理および結果
除算アルゴリズムの定理．任意の整数$${a}$$と正整数$${b}$$に対して，$${a=bq+r, 0 \leq r < b}$$を満たす整数$${q}$$,$${r}$$が一意的に存在する．
結果1．整数$${a}$$および正整数$${b}$$について，$${a}$$を$${b}$$で割った商は$${\lfloor a/b \rfloor}$$に等しい．
定義
任意の整数$${a}$$と正整数$${b}$$に対して，$${a=bq+r, 0 \leq r < b}$$を満たす整数$${q}$$,$${r}$$が一意的に存在します（除算アルゴリズムの定理）．このとき，$${a}$$を$${b}$$で割った商は$${q}$$，余りは$${r}$$であるといいます．
解答について
この問題の解答は後編をご覧ください。
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