さるぶつ牧場 天体の運動7解答

楕円軌道上の人工衛星の速さ

　問題はこちらです．

　この問題では，ケプラーの第2法則を用いて $${v_P}$$ と $${v_Q}$$ の関係式を作ることがポイントです．万有引力の位置エネルギーを正しく用いるようにしましょう．

　ケプラーの第２法則より，

$$
\begin{array}{}
\frac{1}{2}Rv_P&=&\frac{1}{2}\cdot 2R v_Q\\
v_Q&=&\frac{1}{2}v_P
\end{array}
$$

　力学的エネルギー保存則は，

$$
\begin{array}{}
\frac{1}{2}mv_p^2-G\frac{Mm}{R}&=&\frac{1}{2}mv_Q^2-G\frac{Mm}{2R}\\
\frac{1}{2}mv_p^2-\frac{1}{2}m\left(\frac{1}{2}v_P\right)^2&=&G\frac{Mm}{R}-G\frac{Mm}{2R}\\
\frac{3}{4}v_p^2&=&G\frac{M}{R}\\
v_p&=&2\sqrt\frac{GM}{3R}
\end{array}
$$　

　$${v_Q=\frac{1}{2}v_P}$$ より，

$${v_Q=\sqrt\frac{GM}{3R}}$$

　詳しい説明はこちらのブログか，下の動画を参考にしてください．

＊次回は5月8日(月)です．