さるぶつ道場 音5

等速円運動する音源

　図1のように，観測者Oを含む平面内で，速さ $${v}$$ で反時計回りに，半径 $${R}$$ の円周上を等速円運動する音源Ｐがある．Ｐが発する音の振動数を $${f_0}$$ とする．Ｐの軌道の中心とＯを結ぶ直線を $${x}$$ 軸とし，Ｐの軌道の中心を原点とする．Ｐの速さ $${v}$$ は音速 $${V}$$ に比べて小さく，風はなく，温度は一定であるものとする．

図1

(1)Ｐの等速円運動の周期 $${T_0}$$ を求めよ．
(2)Ｏが観測する最も高い振動数 $${f_H}$$ と，最も低い振動数 $${f_L}$$ を求めよ．
(3)Ｏが $${f_L}$$ を観測してから， $${f_H}$$ を観測するまでの時間を求めよ．ただし，解答には $${T_0}$$ を用いてよい．
(4)Ｏの観測する振動数の時間変化を表すグラフとして，最も適当なものを選択肢①～④（図2）の中から選べ．ただし，Ｐが $${x=R}$$ を通過した時刻を0とする．

図2

　次に，図3のように $${x=\frac{1}{2}R}$$ の位置で振動数の変化を観測する．$${x}$$ 軸正の向きとＯとＰを結ぶ線分のなす角を $${\theta}$$ とする．

図3

(5) Ｏの観測する振動数 $${f}$$ を $${\theta}$$ を用いて表せ．
(6)Ｏが観測する最も高い振動数 $${f'_H}$$ と，最も低い振動数 $${f_L'}$$ を求めよ．
(7)Ｏが $${f_L'}$$ を観測してから， $${f'_H}$$ を観測するまでの時間を求めよ．ただし，解答には $${T_0}$$ を用いてよい．

　解答はこちらです．