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さるぶつ牧場 剛体にはたらく力8解答
粗い床上で鉛直壁に立てかけた棒
問題はこちらです.
剛体が静止し続ける条件の1つである,「任意の点のまわりの力のモーメントが0である.」の,任意の点は都合の良い点と解釈しても良い.この問の場合,力のモーメントの式を立てたときに,項の数が少なくなるような点(軸と作用点までの距離が0になる点)を回転軸にすれば考えやすい.
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図1のように,壁が棒に及ぼす垂直抗力を $${N_1}$$ ,床が棒に及ぼす垂直抗力を $${N_2}$$ ,棒にはたらく重力を $${W}$$ ,摩擦力を $${f}$$ とすると,
力のつりあいは,
水平方向:$${N_1-f=0}$$
鉛直方向:$${N_2-W=0}$$
棒と床が接する点の周りの力のモーメントは,
$${W\cos \theta\cdot \frac{l}{2}-N_1\sin \theta \cdot l =0}$$
$${N_1-f=0}$$ より,
$$
\begin{array}{}
\frac{1}{2}W\cos \theta-f\sin \theta &=&0\\
f&=&\frac{W}{2\tan \theta}
\end{array}
$$
最大摩擦力を $${f_{Max}}$$ として,$${f\leq f_{Max}}$$ ならば棒は倒れないので,
$$
\begin{array}{}
f=\frac{W}{2\tan \theta}&\leq&f_{Max}\\
\frac{W}{2\tan \theta}&\leq &\mu _0 N_2\\
\end{array}
$$
$${N_2=W}$$ より,
$${\tan \theta _0\geq \frac{1}{2\mu _0}}$$
詳しい説明はこちらのブログか,下の動画を参考にしてください.
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