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すうがくのもんだい【1】ピッチャーの勝つ確率は?
じつは数学の問題を作るのが趣味です。
解くのは得意ではありません。
自分で問題を作っておいて、自分では解けないものがけっこうあります。
そういう無責任な「マイ未解決問題」を公表します。
ヒマつぶしのネタに使ってください。
今回の設問
サイコロを振って野球ゲームをするとします。
ピッチャー側、バッター側、それぞれサイコロを1回ずつ投げます。
偶数が出る確率、奇数が出る確率、ともに 1/2 です。
<ルール>
* ピッチャーのサイコロが偶数:ストライクゾーンから外れた(ボール球)
* ピッチャーのサイコロが奇数:ストライクゾーンに投げた(ストライク球)
* バッターのサイコロが偶数:バットを振らなかった
* バッターのサイコロが奇数:バットを振った
とみなし、以下のルールにします。
↓↓↓↓↓↓
ピッチャーのサイコロが偶数で、バッターのサイコロも偶数
⇒ボール球を振らなかったので、判定は「ボール」。
ピッチャーのサイコロが偶数で、バッターのサイコロが奇数
⇒ボール球を振って、ファールになった。
ピッチャーのサイコロが奇数で、バッターのサイコロが偶数
⇒ストライク球を見逃したので、判定は「ストライク」。
ピッチャーのサイコロが奇数で、バッターのサイコロも奇数
⇒バッターはバットを振り、ストライク球を当ててヒットになった
以上を整理すると、投げたサイコロの目が偶数か奇数かにより、結果は以下のようになります。
![](https://assets.st-note.com/img/1669703783995-jAfmJJQTYM.png)
これを、以下のどれかの結果になるまで繰り返します。
1度でもヒットが出れば、⇒ バッターの勝ち。
4回ボールが出れば、⇒ フォアボールになり、バッターの勝ち。
3回ストライクが出れば、⇒ 三振となり、ピッチャーの勝ち。
ファールは、ストライクにカウントされますが、2ストライク以降は
何にもカウントされません。
つまり、何度ファールになっても三振にはなりません。
たとえば
(1投目)ファール
(2投目)ファール
この時点では、ストライクが2個(ツー・ストライク)とカウントされますが、
(3投目)ファール
となっても、三振にはなりません。
カウントもツー・ストライクのままです。
いくつかカウントの例を
あげてみましょう。
(1投目)ストライク
(2投目)ストライク
(3投目)ボール
(4投目)ファール
(5投目)ボール
(6投目)ストライク
↓
ストライクが3つになったので、三振(ピッチャーの勝ち)。
(1投目)ボール
(2投目)ストライク
(3投目)ボール
(4投目)ボール
(5投目)ファール
(6投目)ファール
(7投目)ファール
(8投目)ファール
(9投目)ボール
↓
ボールが4つになったので、フォアボール(バッターの勝ち)。
(1投目)ボール
(2投目)ストライク
(3投目)ファール
(4投目)ヒット
↓
ヒットが出たので、その時点でバッターの勝ち。
要領はお分かりでしょうか。
ストライク、ボール、ファールのカウントのしかたは、野球のルールと同じです。
さて問題です。
このルールでゲームをするとき、ピッチャーの勝つ確率(=三振になる確率)を求めてください。
ファールの扱いがややこしいことが、問題をややこしくしています。
この問題を一般化すると…
多面体のサイコロを投げ、その結果により、
ボールになる確率…b
ストライクになる確率…s
ファールになる確率…f
ヒットになる確率…(1-b-s-f)
とするとき、最終的に三振(ピッチャーの勝ち)になる確率はいくらでしょうか?
記事と関係ないけど
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