すうがくのもんだい【1】ピッチャーの勝つ確率は？

じつは数学の問題を作るのが趣味です。
解くのは得意ではありません。
自分で問題を作っておいて、自分では解けないものがけっこうあります。
そういう無責任な「マイ未解決問題」を公表します。
ヒマつぶしのネタに使ってください。

今回の設問

サイコロを振って野球ゲームをするとします。
ピッチャー側、バッター側、それぞれサイコロを1回ずつ投げます。
偶数が出る確率、奇数が出る確率、ともに 1/2 です。

＜ルール＞
* ピッチャーのサイコロが偶数：ストライクゾーンから外れた（ボール球）
* ピッチャーのサイコロが奇数：ストライクゾーンに投げた（ストライク球）
* バッターのサイコロが偶数：バットを振らなかった
* バッターのサイコロが奇数：バットを振った
とみなし、以下のルールにします。
↓↓↓↓↓↓
ピッチャーのサイコロが偶数で、バッターのサイコロも偶数
⇒ボール球を振らなかったので、判定は「ボール」。
ピッチャーのサイコロが偶数で、バッターのサイコロが奇数
⇒ボール球を振って、ファールになった。
ピッチャーのサイコロが奇数で、バッターのサイコロが偶数
⇒ストライク球を見逃したので、判定は「ストライク」。
ピッチャーのサイコロが奇数で、バッターのサイコロも奇数
⇒バッターはバットを振り、ストライク球を当ててヒットになった

以上を整理すると、投げたサイコロの目が偶数か奇数かにより、結果は以下のようになります。

これを、以下のどれかの結果になるまで繰り返します。

• 1度でもヒットが出れば、⇒ バッターの勝ち。

• 4回ボールが出れば、⇒ フォアボールになり、バッターの勝ち。

• 3回ストライクが出れば、⇒ 三振となり、ピッチャーの勝ち。

ファールは、ストライクにカウントされますが、2ストライク以降は
何にもカウントされません。
つまり、何度ファールになっても三振にはなりません。
たとえば

（1投目）ファール
（2投目）ファール

この時点では、ストライクが2個（ツー・ストライク）とカウントされますが、

（3投目）ファール

となっても、三振にはなりません。

カウントもツー・ストライクのままです。

いくつかカウントの例を
あげてみましょう。

（1投目）ストライク
（2投目）ストライク
（3投目）ボール
（4投目）ファール
（5投目）ボール
（6投目）ストライク
↓
ストライクが3つになったので、三振（ピッチャーの勝ち）。

（1投目）ボール
（2投目）ストライク
（3投目）ボール
（4投目）ボール
（5投目）ファール
（6投目）ファール
（7投目）ファール
（8投目）ファール
（9投目）ボール
↓
ボールが4つになったので、フォアボール（バッターの勝ち）。

（1投目）ボール
（2投目）ストライク
（3投目）ファール
（4投目）ヒット
↓
ヒットが出たので、その時点でバッターの勝ち。

要領はお分かりでしょうか。

ストライク、ボール、ファールのカウントのしかたは、野球のルールと同じです。

さて問題です。
このルールでゲームをするとき、ピッチャーの勝つ確率（＝三振になる確率）を求めてください。

ファールの扱いがややこしいことが、問題をややこしくしています。

この問題を一般化すると…

多面体のサイコロを投げ、その結果により、

• ボールになる確率…b

• ストライクになる確率…s

• ファールになる確率…f

• ヒットになる確率…(1-b-s-f)

とするとき、最終的に三振（ピッチャーの勝ち）になる確率はいくらでしょうか？

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