波紋を思い描く その４
前項の最後で級数の係数が分かればよいところまできた。あと少し。
初期条件
(67) (69)よりt=0のときの変位を以下とする。f(r,θ)は既知とする。
$${c'_{m,n}}$$を求めたい。θ方向にFourier級数展開、r方向にFourier-Bessel級数展開を考える。
定理：
(71) (72) (73) (74) (75)よりf(r,θ)は
と展開できる。 (70)と(76)を比較して$${c'_{m,n}}$$の代わりに$${a'_{m,n}}$$と$${b'_{m,n}}$$を用いる。
以上より変位は、以下で与えられる。
これまでに付けた条件
非圧縮
渦なし
速度の二次成分は無視
十分離れた位置で変位は0
変位は深さに対して十分小さい
深さは一定
時刻0で変位方向の速度は0
参考文献
[1] 森口繁一・宇田川銈久・一松信，岩波数学公式Ⅱ 級数・フーリエ解析，岩波書店，1987.
[2] Watson, George N., A Treatise on the Theory of Bessel Functions Second Edition, Cambridge University Press, 1944.
波紋を描く
初期値f(r,θ)を決めて(77) (78)で係数を求めて(79)で計算するだけ。解析的に波紋が分かる。
しかし人手での計算は厳しいのでPCを使う。 (77) (78)の積分はGauss-Legendre積分を使う。
計算例
