エレガントな解答

「大学への数学」という雑誌をご存知ですか。多分今でも発行されている大学受験のための数学学習の雑誌です。もう５０年も前になりますが高校生時代にたまに読んでいました。なかなかユニークな執筆者もいて、ロックミュージック を題材にして数学的な考え方を面白おかしく伝える先生もいました。読者から受験技術に絞って教えて欲しいとクレームが入り、編集部の意向か内容が大人しくなると、それに抗議する読者との間で読者欄で論争が起きるなんてこともありました。

この雑誌に「エレガントな解答を求む」というコーナーがあり、出題に対して寄せられた解答が正しくてもエレガントでないと酷評されるのでした。受験だったら解答が正しければいいじゃないですかね。でもエレガントな解答って何でしょうね。

このコーナーで出題された問題だったのか記憶が定かではないのですが、その解答のエレガントさ（？）に驚いて今でも憶えている問題があります。エレガントでなくてもいいですから皆さん解けますか？　俺は知ってるぞ自慢みたいな内容で申し訳ありません。正直私には全くわかりませんでした。

トップに掲げた図が問題です。有名な問題なのでしょうか？
・平面上に半径の異なる３つの円があります。
・２つの円に接する直線を２本引くと交点ができます。
　（接する直線は４本ありますが、２つの円の中心を結ぶ線分と交わらないものを選びます。図の通りです。）
・円が３つあるので、交点は３つあります。
・３つの交点が１つの直線上にあることを証明せよ。

どう解きますか？デカルト座標を仮定して円の方程式を作り、接線の方程式を作り、交点の座標を求め、、、　それでも解答できるかもしれませんが、エレガントの対極にある力ずくの解答ですね。では何か補助線を引き、図形の合同とか利用して、、、どうでしょう？
実は数式を全く使わずエレガントに解くことができます。

かの雑誌に載っていた驚きの解答は以下ですが、自分で解きたい人は下を見ないでね（笑）。

解答
なんとこの平面の問題を立体の問題に変えます。
・円を同じ半径、中心位置の球に置き換える！！！

・２つの球に接する円錐を作る。
・球が３つあるので円錐が３つでき、頂点が３つある。
・３つの球に接する平面を考える。
・平面は３つの円錐とも直線（母線）で接する。
・従って３つの円錐の頂点はこの平面上にある。
・平面は球を挟んで２つある。３つの頂点はその両方の面内にある。
・２つの面の交わりは直線である。
・従って３つの頂点はこの直線上にある。

３つの球の中心を通る平面で切れば元の問題です。ちゃんちゃん。