平方数と数列

平方数。

$${1}$$，$${4}$$，$${9}$$，$${16}$$，$${25}$$，・・・・・

となっているが、これを数列で捉えなおし、各項の間において公差を取ると

$${3}$$，$${5}$$，$${7}$$，$${9}$$，$${11}$$，・・・・・

のようにこれまた数列となっていることが分かる。

これは階差数列というものであった。初項$${1}$$、階差数列は$${(2n+1)}$$である。

つまり平方数を数列の式で表すと、

$$
\{a_n\} = 1 + \displaystyle\sum_{k=1}^{n-1} (2k+1)
$$

のようになる。(ただし$${n\geqq2}$$の場合)

ただこれをガリガリ計算すると、最終的に$${n^2}$$が出てくるという何も面白みのないことが分かる。

当たり前のことだからこうやって形に残す必要もなかったんだけど、一応ね。