おうぎ形は円の一部と考える（弧の長さ、おうぎ形の面積、中心角） 【円のπｒ²と円周２πｒも】

［関連ページ］（★割合について）

みんないやがるおうぎ形。
ここで出来るようにしちゃおうね。

上に載せた「割合について」というページは、
先に読んでくるとお得だよ。ここでも教えるけどね。

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【おうぎ形の説明】

おうぎ形というのは

こういう形のこと。
扇（おうぎ。扇子（せんす）のこと）みたいな形してるよね。
別にチーズケーキ形でもいいんです。似てるし。

おうぎ形の問題では
「面積」「弧の長さ」「中心角」という用語が出てきます。

■おうぎ形の面積

■弧（こ）の長さ

■中心角

この３つの求め方を今からやります！
が、その前に「円」の知識が必要です。
円の面積とか円周とか、言える？

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【円の面積と円周】

円の「面積」と「円周」について復習します。

まだマジメだった小学校時代。
そこで覚えたこの公式を、まだ覚えてる人も多いはずです。

でも中学以降、
半径は「ｒ（アール）」、
円周率（３．１４・・）は「π（パイ）」とします。

えーめんどうそう、とか、覚えてない！とかその前に。

面積「πｒ²」、円周「２πｒ」を、
連呼しまくって覚えてください。今。
連呼（れんこ）とは声に出して読みまくること！覚えるには連呼！

（πｒ²、πｒ²、πｒ²、パイアール２じょう、パイアール２じょう、パイアール２じょう、パイアール２じょう、パイアール２じょう、パイアール２じょう、パイアール２じょう・・・）

（２πｒ、２πｒ、２πｒ、にーパイアール、にーパイアール、にーパイアール、にーパイアール、にーパイアール、にーパイアール、にーパイアール、にーパイアール、にーパイアール・・・）

はい覚えました。覚えたね？
覚えないと始まらないからね！

ちなみに「π」は「３．１４・・」だから数字です。
だから「２ｒπ」じゃなくて「２πｒ」ね！数字が先なので。

ちょっと軽く問題やってみましょう。

これを解きます。

公式「２πｒ」「πｒ²」は、これから毎回書きます。
覚えるため、そして忘れないためです。

という感じ！
公式書いたから、見ながらできて、難しくなかったね。

単位は（　）を付けて、最後に書き込みます。

（２ × π × ３＝６cmと書くのはダメ。
　突然単位が付くと「＝」ではなくなるからです）

面積の方は「π×３(cm)×３(cm)」ということ。
なので「cm」を２回かけてるよね。
だから単位は「cm²」です。

円はこんな感じ。
もうおうぎ形にいっちゃうよ。

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【おうぎ形が嫌な理由】

おうぎ形はだいたいみんないやがります。
なぜかというと「公式がめんどくさそうだから」。

見てみる？

ぐええええ。

「弧の長さ」と「面積」はなんとなく似てる。
でも「中心角」の公式は参考書などでバラバラです。

これを全部覚えて、解いてくださいね。
と言われるわけ。
テスト前ならまだしも、入試前まで覚えてられる？

でもそもそも、
こんなの覚えなくていいです。

覚えよう、丸暗記しようとするからめんどうなんだ。
「ちゃんと」理解してみよう。
理解すれば、忘れても思い出せる。これが一番強い。

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【割合について】

「★割合について」のページでやったことを軽く復習します。

割合って結局これでした。

割合は「全体分の部分」で出すことができたんです。
とっても大事なので、今覚えてください。連呼！

（割合は全体分の部分、割合は全体分の部分、割合は全体分の部分、割合は全体分の部分、割合は全体分の部分、割合は全体分の部分、割合は全体分の部分・・・）

ピザ１枚を、８等分して、
３切れ食べたら、何枚食べたことになるかな。
というのを、割合（全体分の部分）で書けます。

８切れ（全体）あるうちの３切れ（部分）食べたから、
３／８枚食べた、ということ。

さらに「割合はかけ算」を使うんでした。

さっきのピザが全体で１０００カロリーだとします。
食べた３切れ分のカロリーは？

「全体（1000kcal）」×「割合」で解けました。
この知識をおうぎ形でも使います。

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【おうぎ形は円の一部と考える】

それではおうぎ形。
おうぎ形は「円の一部と考える」のが基本です。

さっきのピザの図とかなり似てるよね。
ピザ３切れ（部分）とピザまるごと１枚（全体）の関係を思い出して。

ピザ３切れ（部分）→ ピザまるごと１枚（全部）

じゃあ、おうぎ形を「円の一部と考える」ということは、

おうぎ形（部分）→円まるごと（全部）

こう思っていい、ということです。

さっきカロリー出したときのことを思い出して。

「部分のカロリー」＝「全体のカロリー（1000kcal）」×「割合」

じゃあ、おうぎ形だって、
「円（全体）」×「割合」で解けるはず、
っていうことです。

「おうぎ形」＝「円（全体）」×「割合」

じゃあおうぎ形の弧の長さの全体は？

→　円の「円周」だ。

じゃあ、おうぎ形の面積の全体は？

→　「円の面積」だ。

つまり、

弧の長さ　　　＝　円周　　　×割合
おうぎ形の面積＝　円の面積　×割合

ということ。

ね。

さっきの公式、覚える必要があったのだろうか、ってことです。
覚えさせられる必要があったのだろうかってこと！

だって弧の長さだろうと、面積だろうと、
（あとでやる中心角だろうと）

「おうぎ形」＝「円（全体）」×「割合」

結局これじゃん。
これが分かったら、覚えなくても解けるよ。

じゃあ、やりながら理解してみようか！

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【問題】

こんな問題。

この問題の図に直接、
こうやって描き込んじゃいます。

これで「円の一部」ということが意識できる。

この問題で使える「割合（全体分の部分）」はどこだか分かる？

それは角度、「45°」と「360°」です。
部分（おうぎ形）が45°、全体（円）が360°。

面積から解いてみます。

「おうぎ形」＝「円（全体）」×「割合」

なんだから、
円の面積（πｒ²）に割合（45°／360°）をかければいいはず。

「πｒ²」毎回書くからね！

次は弧の長さ。

「おうぎ形」＝「円（全体）」×「割合」

なんだから、
円周（２πｒ）に割合（45°／360°）をかければいいね。

でも割合はさっきと変わらないんだ。
なので、約分した状態（1／8）でいいです。
円周（２πｒ）×割合（1／8）ってこと！

「２πｒ」も毎回書いてね。

まとめて書くと

こんな感じです。
説明の割に意外と簡単だと思った？
「円」と「割合」の知識があれば、意外と簡単ってこと。

【おうぎ形の求め方】
　おうぎ形は「円の一部」と考える

→「おうぎ形」＝「円（全体）」×「割合」

これだけ。
でも意外と簡単なのはここまでだ。
ここからちょっとむずいよ。よく聞いてね。

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【おうぎ形の割合のパターン】

今の問題では、全体を360°、部分を45°として、
全体分の部分の割合は「45°／360°」として計算しました。

でも、おうぎ形の割合は他にもあります。
「全体」と「部分」のペアなら、角度じゃなくてもいいんだ。

難しく見えるけど落ちついてね。
見た目にやられちゃダメだからね。

一番左は、角度の「全体分の部分」、
真ん中は、円周の「全体分の部分」
一番右は、面積の「全体分の部分」になってるだけです。

こんなふうに、
「全体分の部分」であれば、
角度でも、円周（弧の長さ）でも、面積でも、
どれでも使ってもいいってことです。

ちなみに、
さっきの問題出した面積と弧の長さ。
全部「割合」にしてみようか。

ほらね。
当然、全部「１／８」になりました。
やっぱり、どれを使ってもいいってことだ。

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【おうぎ形の中心角の問題】

さっき適当に流した「中心角」もやります。

困ることは２つあります。

■困ること①

今回は角度が分かってないけど、
どうやって割合（全体分の部分）を出せばいいんだろう。

■困ること②

おうぎ型の中心角の「全体」ってなんだ？

この２つに対して解決していかなくちゃいけません。

・・・

①　全体分の部分を作るには？

全体分の部分を作るには、
「全体」と「部分」のペアを見つけることです。

おうぎ形のペアは

この３つだったよね。
角度か、弧の長さか、面積。

今回の問題をもう一度見ると

分かってるのは「弧の長さ」だ。

じゃあ部分が「弧の長さ」、全体が「円周」だね。
（半径が分かれば円周２πｒも分かる）

だから割合（全体分の部分）は「３π／２πｒ」です。

・・・

②　中心角の全体は？

部分「おうぎ形」に対する全体は「円」。
じゃあ「中心角」に対する全体は？

そりゃあ「360°」でしょう。
中心角の全体は360°だ。

弧の長さ　　　＝　円周　　　×割合
おうぎ形の面積＝　円の面積　×割合

なんだから、中心角は、

中心角　　　　＝　360°　　  ×割合

ってこと。
360°×割合って、違和感あるでしょ。
でも、理解すれば、さっきと同じ発想です。

「おうぎ形」＝「円（全体）」×「割合」

全部これと同じだって思えたかな？

・・・

ということでもう解けます！
中心角は円の360°に割合（３π／２πｒ）をかけて、

ということでした（円の点線描いてね！）

ちなみに２７０°って本当は

こんな形だだけど、いいです無視して。
メモなんだから。いつも通り分かりやすく。

こういうふうに図の描いてない問題もある。

そういうときは自分で図を描くんだ。
225°だって、

こう描いていいよってこと。
「メモ」なんだから。「いつも通り分かりやすく」。
優先するのはこれです。（問題解かないよ！）

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以上でおうぎ形おしまい！

　おうぎ形は「円の一部」と考える。
　→「おうぎ形」＝「円（全体）」×「割合」

全部これだって分かったかな。
それが分かればこっちのもんです。
もうきっと忘れません。

練習問題はさっきのと、もう１個だけやっておこうか。
きっとだいじょうぶです。
解けるまで頑張れ。

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