熱方程式とブラウン運動

熱方程式とブラウン運動
 
空間が$${n}$$ 次元の場合の熱方程式は
$${\frac{\partial u}{\partial t}=\frac{1}{2}\Delta u}$$
と書ける。ただし、
$${u=u\left( t,x \right)}$$ , $${t>0}$$ ,
$${x=\left( {{x}_{1}},{{x}_{2}},\cdots ,{{x}_{n}} \right)\in {{\mathbb{R}}^{n}}}$$ ,
$${\Delta }$$はラプラシアンで
$${\Delta u=\frac{{{\partial }^{2}}u}{\partial x_{1}^{2}}+\frac{{{\partial }^{2}}u}{\partial x_{2}^{2}}+\cdots +\frac{{{\partial }^{2}}u}{\partial x_{n}^{2}}}$$
である。
 
定理１.$${{{\mathbb{R}}^{n}}}$$ 上の関数$${f\left( x \right)}$$ は有界で連続とする。
$${u\left( t,x \right)=\int\limits_{{{\mathbb{R}}^{n}}}{g\left( t,x-y \right)f\left( y \right)dy}}$$,$${t>0}$$,$${x=\left( {{x}_{1}},{{x}_{2}},\cdots ,{{x}_{n}} \right)\in {{\mathbb{R}}^{n}}}$$
とおくと、この$${u\left( t,x \right)}$$ は初期値問題
$${\frac{\partial u}{\partial t}=\frac{1}{2}\Delta u}$$, $${u\left( 0,x \right)=f\left( x \right)}$$
の解となっている。ただし、
$${g\left( t,x \right)={{\left( \frac{1}{2\pi t} \right)}^{\frac{n}{2}}}{{e}^{-\frac{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}}{2t}}}}$$
である。$${g\left( t,x \right)}$$ は領域を$${{{\mathbb{R}}^{n}}}$$とする熱核と呼ばるグリーン関数である。
証明）
第１段階　$${\frac{\partial g}{\partial t}=\frac{1}{2}\Delta g}$$が成り立つ。
$${{{\left| x \right|}^{2}}=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}}$$ とかくと
$${\frac{\partial g}{\partial t}=\frac{\partial }{\partial t}\left\{ {{\left( \frac{1}{2\pi } \right)}^{\frac{n}{2}}}{{\left( \frac{1}{t} \right)}^{\frac{n}{2}}}{{e}^{-\frac{{{\left| x \right|}^{2}}}{2t}}} \right\}}$$$${={{\left( \frac{1}{2\pi } \right)}^{\frac{n}{2}}}\left\{ \frac{\partial }{\partial t}{{\left( \frac{1}{t} \right)}^{\frac{n}{2}}}\cdot {{e}^{-\frac{{{\left| x \right|}^{2}}}{2t}}}+{{\left( \frac{1}{t} \right)}^{\frac{n}{2}}}\cdot \frac{\partial }{\partial t}\left( {{e}^{-\frac{{{\left| x \right|}^{2}}}{2t}}} \right) \right\}}$$
$${=-\frac{n}{2t}g\left( t,x \right)+\frac{{{\left| x \right|}^{2}}}{2{{t}^{2}}}g\left( t,x \right)}$$
$${\frac{{{\partial }^{2}}}{\partial x_{k}^{2}}{{e}^{-\frac{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}}{2t}}}=\frac{\partial }{\partial {{x}_{k}}}\left( -\frac{{{x}_{k}}}{t}{{e}^{-\frac{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}}{2t}}} \right)={{\left( \frac{{{x}_{k}}}{t} \right)}^{2}}{{e}^{-\frac{{{\left| x \right|}^{2}}}{2t}}}-\frac{1}{t}{{e}^{-\frac{{{\left| x \right|}^{2}}}{2t}}}}$$
であるから、$${k=1,2,\cdots ,n}$$として足し合わせると
$${\Delta {{e}^{-\frac{{{\left| x \right|}^{2}}}{2t}}}=-\frac{n}{t}{{e}^{-\frac{{{\left| x \right|}^{2}}}{2t}}}+\frac{{{\left| x \right|}^{2}}}{{{t}^{2}}}{{e}^{-\frac{{{\left| x \right|}^{2}}}{2t}}}}$$
となる。したがって
$${\frac{\partial g}{\partial t}=\frac{1}{2}\Delta g}$$
がしめされた。
第２段階
$${u\left( t,x \right)=\int\limits_{{{\mathbb{R}}^{n}}}{g\left( t,x-y \right)f\left( y \right)dy}}$$
の両辺を$${t}$$で偏微分し第１段階の結果を使うと
$${\frac{\partial }{\partial t}u\left( t,x \right)}$$$${=\int\limits_{{{\mathbb{R}}^{n}}}{\frac{\partial }{\partial t}g\left( t,x-y \right)f\left( y \right)dy}}$$
$${=\frac{1}{2}\int\limits_{{{\mathbb{R}}^{n}}}{\Delta g\left( t,x-y \right)f\left( y \right)dy}}$$
$${=\frac{1}{2}\Delta u\left( t,x \right)}$$
第3段階
任意の$${a>0}$$ に対して
$${\underset{t\to 0}{\mathop{\lim }}\,\int\limits_{\left| x \right|\le a}{g\left( t,x \right)dx=1}}$$
$${\underset{t\to 0}{\mathop{\lim }}\,\int\limits_{\left| x \right|>a}{g\left( t,x \right)dx=0}}$$
たとえば
$${\int\limits_{-a}^{a}{\frac{1}{\sqrt{2\pi t}}{{e}^{\frac{{{x}_{k}}^{2}}{2t}}}d{{x}_{k}}=}\int\limits_{-a/\sqrt{t}}^{a/\sqrt{t}}{\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{{e}^{-\frac{{{y}_{k}}^{2}}{2}}}d{{y}_{k}}\to }\int\limits_{-\infty }^{\infty }{\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{{e}^{-\frac{{{\xi }^{2}}}{2}}}d\xi =1}}$$
つまり$${t\to 0}$$とすると
$${u\left( t,x \right)=\int\limits_{{{\mathbb{R}}^{n}}}{g\left( t,y \right)f\left( x-y \right)dy}\to \int\limits_{{{\mathbb{R}}^{n}}}{\delta \left( y \right)f\left( x-y \right)dy}=f\left( x \right)}$$
言い換えれば、$${t\to 0}$$とすると$${g\left( t,y \right)\to \delta \left( y \right)}$$（超関数の単位元）に収束する。フーリエ解析でおなじみの議論であり、グリーン関数の性質のひとつ！
証明終わり
”ウイナーによるブラウン運動の定義”
以下に述べるブラウン運動をウイナー過程と呼ぶ人もいる。
$${{{\mathbb{R}}^{n}}}$$の中の値をとる関数$${B\left( t \right)}$$ ,$${t\ge 0}$$からなる空間$${\Omega }$$を考えよう。これらの関数はブラウン粒子のとりうる軌道であると解釈できる。 $${\Omega }$$の上に確率$${{{P}_{x}}}$$ の族が与えられているとする。ただし、$${x}$$ は$${{{\mathbb{R}}^{n}}}$$の任意の点である。確率$${{{P}_{x}}}$$は時刻$${t=0}$$において点$${x}$$ から運動を開始するブラウン運動の確率的軌道の分布と理解しなければいけない。$${{{P}_{x}}}$$に対応する期待値は$${{{E}_{x}}}$$で表すものと約束する。
$${\Omega }$$の上に確率$${{{P}_{x}}}$$の族は次の条件をみたすものとする。
a) $${\Omega }$$は連続関数だけを含む
b)$${{{P}_{x}}\left\{ B\left( 0 \right)=x \right\}=1}$$
c) $${s\ge 0}$$ ,$${t>0}$$のとき確率ベクトル$${B\left( t \right)}$$の増分$${B\left( t+s \right)-B\left( s \right)}$$は、
$${g\left( t,x \right)={{\left( \frac{1}{2\pi t} \right)}^{\frac{n}{2}}}{{e}^{-\frac{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}}{2t}}}}$$を密度関数とする分布をもつ。すなわち、時刻$${s}$$までの軌道の挙動によって定義されるどのような事象およびどのような確率ベクトルにも無関係（確率論的意味で独立事象）である（マルコフ性）。
とくに、$${\Gamma \subset {{\mathbb{R}}^{n}}}$$に対して、
$${{{P}_{x}}\left( B\left( t \right)\in A \right)=P\left( B\left( t \right)-B\left( 0 \right)\in \Gamma -x \right)=\int\limits_{\Gamma -x}{g\left( t,y \right)dy=\int\limits_{\Gamma }{g\left( t,y-x \right)dy}}}$$と計算される。
すると有界な連続関数$${f\left( x \right)}$$をとって、$${f\left( B\left( t \right) \right)}$$ の期待値は、密度$${g\left( t,x \right)}$$ に関する積分であらわされる。つまり、
 
$${E\left( f\left( B\left( t \right) \right) \right)=\int\limits_{{{\mathbb{R}}^{n}}}{f\left( x \right)g\left( t,x \right)dt}}$$
これから、
$${u\left( t,x \right)=E\left\{ f\left( x+B\left( t \right) \right) \right\}=\int\limits_{{{\mathbb{R}}^{n}}}{F\left( x+a \right)g\left( t,a \right)da=}\int\limits_{{{\mathbb{R}}^{n}}}{f\left( x-y \right)g\left( t,y \right)dy}}$$
と書けるので、ブラウン運動に関する期待値$${u\left( t,x \right)}$$は熱方程式の解となっている。$${E\left( f\left( x+B\left( t \right) \right) \right)={{E}_{x}}\left( f\left( B\left( t \right) \right) \right)}$$であるから$${u\left( t,x \right)={{E}_{x}}\left( f\left( B\left( t \right) \right) \right)}$$が熱方程式の解となっているといってもよい。
 
ときには、固定点$${x}$$から出発というのではなく、分布$${\mu }$$をもつ確率ベクトルから出発する軌道を考察することが有効ということがある。その際、任意の事象$${A}$$ の確率は
$${{{P}_{\mu }}\left\{ A \right\}=\int\limits_{{{\mathbb{R}}^{n}}}{{{P}_{x}}}\left\{ A \right\}\mu \left( dx \right)}$$
によって計算できる。このような確率過程を初期分布$${\mu }$$をもつブラウン運動という。この場合任意の確率ベクトル$${\xi }$$ にたいして
$${{{E}_{\mu }}\xi =\int\limits_{{{\mathbb{R}}^{n}}}{{{E}_{x}}\xi \mu \left( dx \right)}}$$
が成り立つ。
 
$${D\subset {{\mathbb{R}}^{n}}}$$ を有界なある領域とする。$${\partial D}$$を$${D}$$の境界をあらわすとき、確率変数
$${T=\inf \left\{ t>0:B\left( t \right)\in \partial D \right\}}$$とおく。$${T}$$は$${D}$$からの脱出時刻exit timeと呼ばれる。

$${u\left( t,x \right)={{E}_{x}}\left\{ f\left( B\left( t \right)\right);t < T \right\}}$$

は、$${f}$$ が連続関数の時、デリクレ問題：
$${\frac{\partial u}{\partial t}=\frac{1}{2}\Delta u}$$, $${u\left( 0,x \right)=f\left( x \right)}$$ ,
$${u\left( t,x \right)=0}$$ ($${t>0,x\in \partial D}$$ )
の解であることが示される。
exit time を導入してブラウン運動により調和関数が生み出されることを最初に発見したのは角谷静夫である。
 

https://www.youtube.com/watch?v=0M6Q4DsO1cg